Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61417 / 40511
↖ ↑ ↗
← N 56.464008°
W 11.313171°		 ← 168.74 m → N 56.464008°
W 11.310425°		 →
↑
168.77 m
↓
↑
168.77 m
↓
N 56.462490°
W 11.313171°		 ← 168.74 m →
28 478 m²		 N 56.462490°
W 11.310425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468578338623047 y=0.309078216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468578338623047 × 217)
    floor (0.468578338623047 × 131072)
    floor (61417.5)     		tx = 61417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309078216552734 × 217)
    floor (0.309078216552734 × 131072)
    floor (40511.5)     		ty = 40511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61417 / 40511 ti = "17/61417/40511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61417/40511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61417 ÷ 217
    61417 ÷ 131072     		x = 0.468574523925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40511 ÷ 217
    40511 ÷ 131072     		y = 0.309074401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468574523925781 × 2 - 1) × π
    -0.0628509521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19745209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309074401855469 × 2 - 1) × π
    0.381851196289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.19962091299191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19745209} λ = -0.19745209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19962091299191))-π/2
    2×atan(3.31885854807759)-π/2
    2×1.27813958668919-π/2
    2.55627917337838-1.57079632675     		φ = 0.98548285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19745209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.313171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98548285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.464008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61417 KachelY 40511 -0.19745209 0.98548285 -11.313171 56.464008
    Oben rechts KachelX + 1 61418 KachelY 40511 -0.19740415 0.98548285 -11.310425 56.464008
    Unten links KachelX 61417 KachelY + 1 40512 -0.19745209 0.98545636 -11.313171 56.462490
    Unten rechts KachelX + 1 61418 KachelY + 1 40512 -0.19740415 0.98545636 -11.310425 56.462490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98548285-0.98545636) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dl = 168.767789999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98548285-0.98545636) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dr = 168.767789999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19745209--0.19740415) × cos(0.98548285) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552460704586816 × 6371000     		do = 168.735719519337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19745209--0.19740415) × cos(0.98545636) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552482784839583 × 6371000     		du = 168.742463396878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98548285)-sin(0.98545636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552460704586816-0.552482784839583)×R²
    abs(-0.19740415--0.19745209)×2.2080252767287e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2080252767287e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2080252767287e-05×40589641000000     		ar = 28477.7235536882m²