Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61414 / 40470
↖ ↑ ↗
← N 56.526169°
W 11.321411°		 ← 168.46 m → N 56.526169°
W 11.318664°		 →
↑
168.45 m
↓
↑
168.45 m
↓
N 56.524655°
W 11.321411°		 ← 168.47 m →
28 377 m²		 N 56.524655°
W 11.318664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468555450439453 y=0.308765411376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468555450439453 × 217)
    floor (0.468555450439453 × 131072)
    floor (61414.5)     		tx = 61414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308765411376953 × 217)
    floor (0.308765411376953 × 131072)
    floor (40470.5)     		ty = 40470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61414 / 40470 ti = "17/61414/40470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61414/40470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61414 ÷ 217
    61414 ÷ 131072     		x = 0.468551635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40470 ÷ 217
    40470 ÷ 131072     		y = 0.308761596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468551635742188 × 2 - 1) × π
    -0.062896728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19759590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308761596679688 × 2 - 1) × π
    0.382476806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20158632587633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19759590} λ = -0.19759590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20158632587633))-π/2
    2×atan(3.32538788975387)-π/2
    2×1.27868204881379-π/2
    2.55736409762757-1.57079632675     		φ = 0.98656777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19759590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.321411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98656777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.526169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61414 KachelY 40470 -0.19759590 0.98656777 -11.321411 56.526169
    Oben rechts KachelX + 1 61415 KachelY 40470 -0.19754796 0.98656777 -11.318664 56.526169
    Unten links KachelX 61414 KachelY + 1 40471 -0.19759590 0.98654133 -11.321411 56.524655
    Unten rechts KachelX + 1 61415 KachelY + 1 40471 -0.19754796 0.98654133 -11.318664 56.524655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98656777-0.98654133) × R
    2.64399999999609e-05 × 6371000     		dl = 168.449239999751m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98656777-0.98654133) × R
    2.64399999999609e-05 × 6371000     		dr = 168.449239999751m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19759590--0.19754796) × cos(0.98656777) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551556056556636 × 6371000     		do = 168.459416725279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19759590--0.19754796) × cos(0.98654133) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.551578110968022 × 6371000     		du = 168.466152710197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98656777)-sin(0.98654133))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551556056556636-0.551578110968022)×R²
    abs(-0.19754796--0.19759590)×2.2054411386585e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2054411386585e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2054411386585e-05×40589641000000     		ar = 28377.4280556609m²