Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61413 / 34077
↖ ↑ ↗
← N 65.038538°
W 11.324158°		 ← 128.89 m → N 65.038538°
W 11.321411°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
N 65.037379°
W 11.324158°		 ← 128.90 m →
16 613 m²		 N 65.037379°
W 11.321411°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468547821044922 y=0.259990692138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468547821044922 × 217)
    floor (0.468547821044922 × 131072)
    floor (61413.5)     		tx = 61413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259990692138672 × 217)
    floor (0.259990692138672 × 131072)
    floor (34077.5)     		ty = 34077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61413 / 34077 ti = "17/61413/34077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61413/34077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61413 ÷ 217
    61413 ÷ 131072     		x = 0.468544006347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34077 ÷ 217
    34077 ÷ 131072     		y = 0.259986877441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468544006347656 × 2 - 1) × π
    -0.0629119873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19764384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259986877441406 × 2 - 1) × π
    0.480026245117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.50804692514735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19764384} λ = -0.19764384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50804692514735))-π/2
    2×atan(4.51789837822762)-π/2
    2×1.35296647696633-π/2
    2.70593295393266-1.57079632675     		φ = 1.13513663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19764384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.324158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13513663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.038538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61413 KachelY 34077 -0.19764384 1.13513663 -11.324158 65.038538
    Oben rechts KachelX + 1 61414 KachelY 34077 -0.19759590 1.13513663 -11.321411 65.038538
    Unten links KachelX 61413 KachelY + 1 34078 -0.19764384 1.13511640 -11.324158 65.037379
    Unten rechts KachelX + 1 61414 KachelY + 1 34078 -0.19759590 1.13511640 -11.321411 65.037379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13513663-1.13511640) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dl = 128.885330000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13513663-1.13511640) × R
    2.02300000000655e-05 × 6371000     		dr = 128.885330000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19764384--0.19759590) × cos(1.13513663) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422008568884676 × 6371000     		do = 128.892279437933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19764384--0.19759590) × cos(1.13511640) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.422026909151282 × 6371000     		du = 128.897881027433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13513663)-sin(1.13511640))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422008568884676-0.422026909151282)×R²
    abs(-0.19759590--0.19764384)×1.83402666062427e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83402666062427e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83402666062427e-05×40589641000000     		ar = 16612.6849517687m²