Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61412 / 40466
↖ ↑ ↗
← N 56.532228°
W 11.326904°		 ← 168.40 m → N 56.532228°
W 11.324158°		 →
↑
168.39 m
↓
↑
168.39 m
↓
N 56.530714°
W 11.326904°		 ← 168.40 m →
28 356 m²		 N 56.530714°
W 11.324158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468540191650391 y=0.308734893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468540191650391 × 217)
    floor (0.468540191650391 × 131072)
    floor (61412.5)     		tx = 61412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308734893798828 × 217)
    floor (0.308734893798828 × 131072)
    floor (40466.5)     		ty = 40466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61412 / 40466 ti = "17/61412/40466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61412/40466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61412 ÷ 217
    61412 ÷ 131072     		x = 0.468536376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40466 ÷ 217
    40466 ÷ 131072     		y = 0.308731079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468536376953125 × 2 - 1) × π
    -0.06292724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19769177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308731079101562 × 2 - 1) × π
    0.382537841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20177807347481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19769177} λ = -0.19769177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20177807347481))-π/2
    2×atan(3.32602558603216)-π/2
    2×1.27873492435958-π/2
    2.55746984871917-1.57079632675     		φ = 0.98667352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19769177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.326904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98667352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.532228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61412 KachelY 40466 -0.19769177 0.98667352 -11.326904 56.532228
    Oben rechts KachelX + 1 61413 KachelY 40466 -0.19764384 0.98667352 -11.324158 56.532228
    Unten links KachelX 61412 KachelY + 1 40467 -0.19769177 0.98664709 -11.326904 56.530714
    Unten rechts KachelX + 1 61413 KachelY + 1 40467 -0.19764384 0.98664709 -11.324158 56.530714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98667352-0.98664709) × R
    2.64300000000217e-05 × 6371000     		dl = 168.385530000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98667352-0.98664709) × R
    2.64300000000217e-05 × 6371000     		dr = 168.385530000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19769177--0.19764384) × cos(0.98667352) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.551467843397422 × 6371000     		do = 168.397340139565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19769177--0.19764384) × cos(0.98664709) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.551489891009068 × 6371000     		du = 168.404072643013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98667352)-sin(0.98664709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551467843397422-0.551489891009068)×R²
    abs(-0.19764384--0.19769177)×2.20476116455925e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20476116455925e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20476116455925e-05×40589641000000     		ar = 28356.2421998941m²