Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61411 / 34658
↖ ↑ ↗
← N 64.356554°
W 11.329651°		 ← 132.18 m → N 64.356554°
W 11.326904°		 →
↑
132.20 m
↓
↑
132.20 m
↓
N 64.355365°
W 11.329651°		 ← 132.18 m →
17 474 m²		 N 64.355365°
W 11.326904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468532562255859 y=0.264423370361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468532562255859 × 217)
    floor (0.468532562255859 × 131072)
    floor (61411.5)     		tx = 61411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264423370361328 × 217)
    floor (0.264423370361328 × 131072)
    floor (34658.5)     		ty = 34658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61411 / 34658 ti = "17/61411/34658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61411/34658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61411 ÷ 217
    61411 ÷ 131072     		x = 0.468528747558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34658 ÷ 217
    34658 ÷ 131072     		y = 0.264419555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468528747558594 × 2 - 1) × π
    -0.0629425048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19773971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264419555664062 × 2 - 1) × π
    0.471160888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48019558646809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19773971} λ = -0.19773971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48019558646809))-π/2
    2×atan(4.39380496567851)-π/2
    2×1.34701504298157-π/2
    2.69403008596313-1.57079632675     		φ = 1.12323376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19773971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.329651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12323376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.356554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61411 KachelY 34658 -0.19773971 1.12323376 -11.329651 64.356554
    Oben rechts KachelX + 1 61412 KachelY 34658 -0.19769177 1.12323376 -11.326904 64.356554
    Unten links KachelX 61411 KachelY + 1 34659 -0.19773971 1.12321301 -11.329651 64.355365
    Unten rechts KachelX + 1 61412 KachelY + 1 34659 -0.19769177 1.12321301 -11.326904 64.355365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12323376-1.12321301) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dl = 132.198250000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12323376-1.12321301) × R
    2.07500000000138e-05 × 6371000     		dr = 132.198250000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19773971--0.19769177) × cos(1.12323376) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.432769464535728 × 6371000     		do = 132.178933955295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19773971--0.19769177) × cos(1.12321301) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.432788170663548 × 6371000     		du = 132.184647288227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12323376)-sin(1.12321301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432769464535728-0.432788170663548)×R²
    abs(-0.19769177--0.19773971)×1.87061278194567e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.87061278194567e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.87061278194567e-05×40589641000000     		ar = 17474.2014025954m²