Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61408 / 14047
↖ ↑ ↗
← N 71.132764°
E157.324219°		 ← 197.51 m → N 71.132764°
E157.329712°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
N 71.130988°
E157.324219°		 ← 197.53 m →
39 011 m²		 N 71.130988°
E157.329712°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.937019348144531 y=0.214347839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.937019348144531 × 216)
    floor (0.937019348144531 × 65536)
    floor (61408.5)     		tx = 61408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214347839355469 × 216)
    floor (0.214347839355469 × 65536)
    floor (14047.5)     		ty = 14047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61408 / 14047 ti = "16/61408/14047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61408/14047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61408 ÷ 216
    61408 ÷ 65536     		x = 0.93701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14047 ÷ 216
    14047 ÷ 65536     		y = 0.214340209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93701171875 × 2 - 1) × π
    0.8740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.74582561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214340209960938 × 2 - 1) × π
    0.571319580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79485339557414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74582561} λ = 2.74582561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79485339557414))-π/2
    2×atan(6.01859230485639)-π/2
    2×1.40614863361247-π/2
    2.81229726722494-1.57079632675     		φ = 1.24150094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74582561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.324219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24150094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.132764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61408 KachelY 14047 2.74582561 1.24150094 157.324219 71.132764
    Oben rechts KachelX + 1 61409 KachelY 14047 2.74592148 1.24150094 157.329712 71.132764
    Unten links KachelX 61408 KachelY + 1 14048 2.74582561 1.24146994 157.324219 71.130988
    Unten rechts KachelX + 1 61409 KachelY + 1 14048 2.74592148 1.24146994 157.329712 71.130988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24150094-1.24146994) × R
    3.10000000001143e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24150094-1.24146994) × R
    3.10000000001143e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74582561-2.74592148) × cos(1.24150094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323376354081789 × 6371000     		do = 197.514322180342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74582561-2.74592148) × cos(1.24146994) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323405688309846 × 6371000     		du = 197.532239168081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24150094)-sin(1.24146994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323376354081789-0.323405688309846)×R²
    abs(2.74592148-2.74582561)×2.93342280565656e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93342280565656e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93342280565656e-05×40589641000000     		ar = 39011.0454597849m²