Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61401 / 40617
↖ ↑ ↗
← N 56.302825°
W 11.357117°		 ← 169.45 m → N 56.302825°
W 11.354370°		 →
↑
169.40 m
↓
↑
169.40 m
↓
N 56.301301°
W 11.357117°		 ← 169.46 m →
28 706 m²		 N 56.301301°
W 11.354370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468456268310547 y=0.309886932373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468456268310547 × 217)
    floor (0.468456268310547 × 131072)
    floor (61401.5)     		tx = 61401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309886932373047 × 217)
    floor (0.309886932373047 × 131072)
    floor (40617.5)     		ty = 40617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61401 / 40617 ti = "17/61401/40617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61401/40617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61401 ÷ 217
    61401 ÷ 131072     		x = 0.468452453613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40617 ÷ 217
    40617 ÷ 131072     		y = 0.309883117675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468452453613281 × 2 - 1) × π
    -0.0630950927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19821908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309883117675781 × 2 - 1) × π
    0.380233764648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.19453960163218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19821908} λ = -0.19821908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19453960163218))-π/2
    2×atan(3.30203716796445)-π/2
    2×1.27673299942739-π/2
    2.55346599885478-1.57079632675     		φ = 0.98266967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19821908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.357117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98266967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.302825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61401 KachelY 40617 -0.19821908 0.98266967 -11.357117 56.302825
    Oben rechts KachelX + 1 61402 KachelY 40617 -0.19817114 0.98266967 -11.354370 56.302825
    Unten links KachelX 61401 KachelY + 1 40618 -0.19821908 0.98264308 -11.357117 56.301301
    Unten rechts KachelX + 1 61402 KachelY + 1 40618 -0.19817114 0.98264308 -11.354370 56.301301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98266967-0.98264308) × R
    2.65900000000485e-05 × 6371000     		dl = 169.404890000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98266967-0.98264308) × R
    2.65900000000485e-05 × 6371000     		dr = 169.404890000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19821908--0.19817114) × cos(0.98266967) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.55480341049772 × 6371000     		do = 169.451242205777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19821908--0.19817114) × cos(0.98264308) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.554825532689022 × 6371000     		du = 169.457998892426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98266967)-sin(0.98264308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55480341049772-0.554825532689022)×R²
    abs(-0.19817114--0.19821908)×2.21221913021541e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21221913021541e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21221913021541e-05×40589641000000     		ar = 28706.441355944m²