Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61400 / 33912
↖ ↑ ↗
← N 65.229102°
W 11.359863°		 ← 127.97 m → N 65.229102°
W 11.357117°		 →
↑
127.99 m
↓
↑
127.99 m
↓
N 65.227951°
W 11.359863°		 ← 127.98 m →
16 380 m²		 N 65.227951°
W 11.357117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61400 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468448638916016 y=0.258731842041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468448638916016 × 217)
    floor (0.468448638916016 × 131072)
    floor (61400.5)     		tx = 61400
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258731842041016 × 217)
    floor (0.258731842041016 × 131072)
    floor (33912.5)     		ty = 33912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61400 / 33912 ti = "17/61400/33912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61400/33912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61400 ÷ 217
    61400 ÷ 131072     		x = 0.46844482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33912 ÷ 217
    33912 ÷ 131072     		y = 0.25872802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46844482421875 × 2 - 1) × π
    -0.0631103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19826702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25872802734375 × 2 - 1) × π
    0.4825439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51595651358466
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19826702} λ = -0.19826702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51595651358466))-π/2
    2×atan(4.55377479179369)-π/2
    2×1.35462946137864-π/2
    2.70925892275728-1.57079632675     		φ = 1.13846260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19826702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.359863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13846260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.229102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61400 KachelY 33912 -0.19826702 1.13846260 -11.359863 65.229102
    Oben rechts KachelX + 1 61401 KachelY 33912 -0.19821908 1.13846260 -11.357117 65.229102
    Unten links KachelX 61400 KachelY + 1 33913 -0.19826702 1.13844251 -11.359863 65.227951
    Unten rechts KachelX + 1 61401 KachelY + 1 33913 -0.19821908 1.13844251 -11.357117 65.227951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13846260-1.13844251) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dl = 127.993390000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13846260-1.13844251) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dr = 127.993390000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19826702--0.19821908) × cos(1.13846260) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.41899094303216 × 6371000     		do = 127.970618828885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19826702--0.19821908) × cos(1.13844251) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419009184474997 × 6371000     		du = 127.976190235063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13846260)-sin(1.13844251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41899094303216-0.419009184474997)×R²
    abs(-0.19821908--0.19826702)×1.82414428369637e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82414428369637e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82414428369637e-05×40589641000000     		ar = 16379.7498765085m²