Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6139 / 6422
↖ ↑ ↗
← S 70.931003°
E 89.780273°		 ← 1 596.47 m → S 70.931003°
E 89.824219°		 →
↑
1 595.87 m
↓
↑
1 595.87 m
↓
S 70.945355°
E 89.780273°		 ← 1 595.31 m →
2 546 838 m²		 S 70.945355°
E 89.824219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6139 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74945068359375 y=0.78399658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74945068359375 × 213)
    floor (0.74945068359375 × 8192)
    floor (6139.5)     		tx = 6139
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78399658203125 × 213)
    floor (0.78399658203125 × 8192)
    floor (6422.5)     		ty = 6422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6139 / 6422 ti = "13/6139/6422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6139/6422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6139 ÷ 213
    6139 ÷ 8192     		x = 0.7493896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6422 ÷ 213
    6422 ÷ 8192     		y = 0.783935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7493896484375 × 2 - 1) × π
    0.498779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.56696137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783935546875 × 2 - 1) × π
    -0.56787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78401965626001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56696137} λ = 1.56696137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78401965626001))-π/2
    2×atan(0.167961640457565)-π/2
    2×0.16640838671381-π/2
    0.33281677342762-1.57079632675     		φ = -1.23797955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56696137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.780273°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23797955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.931003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6139 KachelY 6422 1.56696137 -1.23797955 89.780273 -70.931003
    Oben rechts KachelX + 1 6140 KachelY 6422 1.56772837 -1.23797955 89.824219 -70.931003
    Unten links KachelX 6139 KachelY + 1 6423 1.56696137 -1.23823004 89.780273 -70.945355
    Unten rechts KachelX + 1 6140 KachelY + 1 6423 1.56772837 -1.23823004 89.824219 -70.945355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23797955--1.23823004) × R
    0.000250489999999992 × 6371000     		dl = 1595.87178999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23797955--1.23823004) × R
    0.000250489999999992 × 6371000     		dr = 1595.87178999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56696137-1.56772837) × cos(-1.23797955) × R
    0.000766999999999962 × 0.326706529475913 × 6371000     		do = 1596.47007855615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56696137-1.56772837) × cos(-1.23823004) × R
    0.000766999999999962 × 0.326469774658391 × 6371000     		du = 1595.3131626453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23797955)-sin(-1.23823004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326706529475913-0.326469774658391)×R²
    abs(1.56772837-1.56696137)×0.000236754817521945×R²
    0.000766999999999962×0.000236754817521945×6371000²
    0.000766999999999962×0.000236754817521945×40589641000000     		ar = 2546838.43053158m²