Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61388 / 40604
↖ ↑ ↗
← N 56.322629°
W 11.392822°		 ← 169.36 m → N 56.322629°
W 11.390076°		 →
↑
169.34 m
↓
↑
169.34 m
↓
N 56.321106°
W 11.392822°		 ← 169.37 m →
28 681 m²		 N 56.321106°
W 11.390076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468357086181641 y=0.309787750244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468357086181641 × 217)
    floor (0.468357086181641 × 131072)
    floor (61388.5)     		tx = 61388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309787750244141 × 217)
    floor (0.309787750244141 × 131072)
    floor (40604.5)     		ty = 40604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61388 / 40604 ti = "17/61388/40604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61388/40604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61388 ÷ 217
    61388 ÷ 131072     		x = 0.468353271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40604 ÷ 217
    40604 ÷ 131072     		y = 0.309783935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468353271484375 × 2 - 1) × π
    -0.06329345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19884226
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309783935546875 × 2 - 1) × π
    0.38043212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19516278132724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19884226} λ = -0.19884226}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19516278132724))-π/2
    2×atan(3.30409557179098)-π/2
    2×1.27690582572666-π/2
    2.55381165145332-1.57079632675     		φ = 0.98301532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19884226} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.392822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98301532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.322629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61388 KachelY 40604 -0.19884226 0.98301532 -11.392822 56.322629
    Oben rechts KachelX + 1 61389 KachelY 40604 -0.19879432 0.98301532 -11.390076 56.322629
    Unten links KachelX 61388 KachelY + 1 40605 -0.19884226 0.98298874 -11.392822 56.321106
    Unten rechts KachelX + 1 61389 KachelY + 1 40605 -0.19879432 0.98298874 -11.390076 56.321106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98301532-0.98298874) × R
    2.65799999999983e-05 × 6371000     		dl = 169.341179999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98301532-0.98298874) × R
    2.65799999999983e-05 × 6371000     		dr = 169.341179999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19884226--0.19879432) × cos(0.98301532) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.554515802964144 × 6371000     		do = 169.363399462005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19884226--0.19879432) × cos(0.98298874) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.554537921931747 × 6371000     		du = 169.370155164053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98301532)-sin(0.98298874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554515802964144-0.554537921931747)×R²
    abs(-0.19879432--0.19884226)×2.21189676034017e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21189676034017e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21189676034017e-05×40589641000000     		ar = 28680.7699247114m²