Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61387 / 33915
↖ ↑ ↗
← N 65.225649°
W 11.395569°		 ← 127.99 m → N 65.225649°
W 11.392822°		 →
↑
127.99 m
↓
↑
127.99 m
↓
N 65.224498°
W 11.395569°		 ← 127.99 m →
16 382 m²		 N 65.224498°
W 11.392822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468349456787109 y=0.258754730224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468349456787109 × 217)
    floor (0.468349456787109 × 131072)
    floor (61387.5)     		tx = 61387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258754730224609 × 217)
    floor (0.258754730224609 × 131072)
    floor (33915.5)     		ty = 33915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61387 / 33915 ti = "17/61387/33915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61387/33915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61387 ÷ 217
    61387 ÷ 131072     		x = 0.468345642089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33915 ÷ 217
    33915 ÷ 131072     		y = 0.258750915527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468345642089844 × 2 - 1) × π
    -0.0633087158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19889020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258750915527344 × 2 - 1) × π
    0.482498168945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.5158127028858
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19889020} λ = -0.19889020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5158127028858))-π/2
    2×atan(4.55311995734566)-π/2
    2×1.35459933172112-π/2
    2.70919866344225-1.57079632675     		φ = 1.13840234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19889020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.395569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13840234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.225649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61387 KachelY 33915 -0.19889020 1.13840234 -11.395569 65.225649
    Oben rechts KachelX + 1 61388 KachelY 33915 -0.19884226 1.13840234 -11.392822 65.225649
    Unten links KachelX 61387 KachelY + 1 33916 -0.19889020 1.13838225 -11.395569 65.224498
    Unten rechts KachelX + 1 61388 KachelY + 1 33916 -0.19884226 1.13838225 -11.392822 65.224498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13840234-1.13838225) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dl = 127.993390000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13840234-1.13838225) × R
    2.00900000000281e-05 × 6371000     		dr = 127.993390000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19889020--0.19884226) × cos(1.13840234) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419045657773665 × 6371000     		do = 127.987330119299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19889020--0.19884226) × cos(1.13838225) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419063898709218 × 6371000     		du = 127.992901370538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13840234)-sin(1.13838225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419045657773665-0.419063898709218)×R²
    abs(-0.19884226--0.19889020)×1.82409355525825e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82409355525825e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82409355525825e-05×40589641000000     		ar = 16381.8888012886m²