Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61386 / 29117
↖ ↑ ↗
← N 70.202785°
W 11.398315°		 ← 103.42 m → N 70.202785°
W 11.395569°		 →
↑
103.40 m
↓
↑
103.40 m
↓
N 70.201855°
W 11.398315°		 ← 103.43 m →
10 694 m²		 N 70.201855°
W 11.395569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468341827392578 y=0.222148895263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468341827392578 × 217)
    floor (0.468341827392578 × 131072)
    floor (61386.5)     		tx = 61386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222148895263672 × 217)
    floor (0.222148895263672 × 131072)
    floor (29117.5)     		ty = 29117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61386 / 29117 ti = "17/61386/29117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61386/29117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61386 ÷ 217
    61386 ÷ 131072     		x = 0.468338012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29117 ÷ 217
    29117 ÷ 131072     		y = 0.222145080566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468338012695312 × 2 - 1) × π
    -0.063323974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19893813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222145080566406 × 2 - 1) × π
    0.555709838867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.74581394726283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19893813} λ = -0.19893813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74581394726283))-π/2
    2×atan(5.73056395450306)-π/2
    2×1.39803303456437-π/2
    2.79606606912875-1.57079632675     		φ = 1.22526974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19893813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.398315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22526974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.202785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61386 KachelY 29117 -0.19893813 1.22526974 -11.398315 70.202785
    Oben rechts KachelX + 1 61387 KachelY 29117 -0.19889020 1.22526974 -11.395569 70.202785
    Unten links KachelX 61386 KachelY + 1 29118 -0.19893813 1.22525351 -11.398315 70.201855
    Unten rechts KachelX + 1 61387 KachelY + 1 29118 -0.19889020 1.22525351 -11.395569 70.201855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22526974-1.22525351) × R
    1.62300000001725e-05 × 6371000     		dl = 103.401330001099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22526974-1.22525351) × R
    1.62300000001725e-05 × 6371000     		dr = 103.401330001099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19893813--0.19889020) × cos(1.22526974) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.338692188241338 × 6371000     		do = 103.42373414652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19893813--0.19889020) × cos(1.22525351) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.338707458958808 × 6371000     		du = 103.428397243807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22526974)-sin(1.22525351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338692188241338-0.338707458958808)×R²
    abs(-0.19889020--0.19893813)×1.52707174707056e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.52707174707056e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.52707174707056e-05×40589641000000     		ar = 10694.3927499604m²