Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61385 / 40599
↖ ↑ ↗
← N 56.330244°
W 11.401062°		 ← 169.33 m → N 56.330244°
W 11.398315°		 →
↑
169.34 m
↓
↑
169.34 m
↓
N 56.328721°
W 11.401062°		 ← 169.34 m →
28 675 m²		 N 56.328721°
W 11.398315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468334197998047 y=0.309749603271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468334197998047 × 217)
    floor (0.468334197998047 × 131072)
    floor (61385.5)     		tx = 61385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309749603271484 × 217)
    floor (0.309749603271484 × 131072)
    floor (40599.5)     		ty = 40599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61385 / 40599 ti = "17/61385/40599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61385/40599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61385 ÷ 217
    61385 ÷ 131072     		x = 0.468330383300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40599 ÷ 217
    40599 ÷ 131072     		y = 0.309745788574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468330383300781 × 2 - 1) × π
    -0.0633392333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19898607
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309745788574219 × 2 - 1) × π
    0.380508422851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.19540246582534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19898607} λ = -0.19898607}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19540246582534))-π/2
    2×atan(3.3048876071953)-π/2
    2×1.27697227351994-π/2
    2.55394454703987-1.57079632675     		φ = 0.98314822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19898607} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.401062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98314822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.330244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61385 KachelY 40599 -0.19898607 0.98314822 -11.401062 56.330244
    Oben rechts KachelX + 1 61386 KachelY 40599 -0.19893813 0.98314822 -11.398315 56.330244
    Unten links KachelX 61385 KachelY + 1 40600 -0.19898607 0.98312164 -11.401062 56.328721
    Unten rechts KachelX + 1 61386 KachelY + 1 40600 -0.19893813 0.98312164 -11.398315 56.328721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98314822-0.98312164) × R
    2.65799999999983e-05 × 6371000     		dl = 169.341179999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98314822-0.98312164) × R
    2.65799999999983e-05 × 6371000     		dr = 169.341179999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19898607--0.19893813) × cos(0.98314822) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.554405202249988 × 6371000     		do = 169.329619157039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19898607--0.19893813) × cos(0.98312164) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.554427323176252 × 6371000     		du = 169.336375457313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98314822)-sin(0.98312164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554405202249988-0.554427323176252)×R²
    abs(-0.19893813--0.19898607)×2.21209262643018e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21209262643018e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21209262643018e-05×40589641000000     		ar = 28675.0495785538m²