Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61384 / 29118
↖ ↑ ↗
← N 70.201855°
W 11.403809°		 ← 103.45 m → N 70.201855°
W 11.401062°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
N 70.200924°
W 11.403809°		 ← 103.45 m →
10 704 m²		 N 70.200924°
W 11.401062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468326568603516 y=0.222156524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468326568603516 × 217)
    floor (0.468326568603516 × 131072)
    floor (61384.5)     		tx = 61384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222156524658203 × 217)
    floor (0.222156524658203 × 131072)
    floor (29118.5)     		ty = 29118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61384 / 29118 ti = "17/61384/29118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61384/29118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61384 ÷ 217
    61384 ÷ 131072     		x = 0.46832275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29118 ÷ 217
    29118 ÷ 131072     		y = 0.222152709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46832275390625 × 2 - 1) × π
    -0.0633544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19903401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222152709960938 × 2 - 1) × π
    0.555694580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.7457660103632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19903401} λ = -0.19903401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7457660103632))-π/2
    2×atan(5.73028925561817)-π/2
    2×1.39802491645463-π/2
    2.79604983290927-1.57079632675     		φ = 1.22525351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19903401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.403809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22525351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.201855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61384 KachelY 29118 -0.19903401 1.22525351 -11.403809 70.201855
    Oben rechts KachelX + 1 61385 KachelY 29118 -0.19898607 1.22525351 -11.401062 70.201855
    Unten links KachelX 61384 KachelY + 1 29119 -0.19903401 1.22523727 -11.403809 70.200924
    Unten rechts KachelX + 1 61385 KachelY + 1 29119 -0.19898607 1.22523727 -11.401062 70.200924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22525351-1.22523727) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dl = 103.465039999297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22525351-1.22523727) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dr = 103.465039999297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19903401--0.19898607) × cos(1.22525351) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.338707458958808 × 6371000     		do = 103.449976296066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19903401--0.19898607) × cos(1.22523727) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.338722738995921 × 6371000     		du = 103.454643212708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22525351)-sin(1.22523727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338707458958808-0.338722738995921)×R²
    abs(-0.19898607--0.19903401)×1.52800371128747e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.52800371128747e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.52800371128747e-05×40589641000000     		ar = 10703.6973670128m²