Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61381 / 40643
↖ ↑ ↗
← N 56.263185°
W 11.412048°		 ← 169.63 m → N 56.263185°
W 11.409302°		 →
↑
169.60 m
↓
↑
169.60 m
↓
N 56.261660°
W 11.412048°		 ← 169.63 m →
28 769 m²		 N 56.261660°
W 11.409302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468303680419922 y=0.310085296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468303680419922 × 217)
    floor (0.468303680419922 × 131072)
    floor (61381.5)     		tx = 61381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310085296630859 × 217)
    floor (0.310085296630859 × 131072)
    floor (40643.5)     		ty = 40643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61381 / 40643 ti = "17/61381/40643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61381/40643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61381 ÷ 217
    61381 ÷ 131072     		x = 0.468299865722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40643 ÷ 217
    40643 ÷ 131072     		y = 0.310081481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468299865722656 × 2 - 1) × π
    -0.0634002685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19917782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310081481933594 × 2 - 1) × π
    0.379837036132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.19329324224206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19917782} λ = -0.19917782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19329324224206))-π/2
    2×atan(3.29792420658008)-π/2
    2×1.27638707791556-π/2
    2.55277415583112-1.57079632675     		φ = 0.98197783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19917782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.412048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98197783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.263185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61381 KachelY 40643 -0.19917782 0.98197783 -11.412048 56.263185
    Oben rechts KachelX + 1 61382 KachelY 40643 -0.19912988 0.98197783 -11.409302 56.263185
    Unten links KachelX 61381 KachelY + 1 40644 -0.19917782 0.98195121 -11.412048 56.261660
    Unten rechts KachelX + 1 61382 KachelY + 1 40644 -0.19912988 0.98195121 -11.409302 56.261660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98197783-0.98195121) × R
    2.66200000000882e-05 × 6371000     		dl = 169.596020000562m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98197783-0.98195121) × R
    2.66200000000882e-05 × 6371000     		dr = 169.596020000562m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19917782--0.19912988) × cos(0.98197783) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.5553788757396 × 6371000     		do = 169.627004103122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19917782--0.19912988) × cos(0.98195121) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555401012666707 × 6371000     		du = 169.633765290465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98197783)-sin(0.98195121))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5553788757396-0.555401012666707)×R²
    abs(-0.19912988--0.19917782)×2.21369271073968e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21369271073968e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21369271073968e-05×40589641000000     		ar = 28768.6381175484m²