Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61379 / 40907
↖ ↑ ↗
← N 55.858358°
W 11.417541°		 ← 171.42 m → N 55.858358°
W 11.414795°		 →
↑
171.38 m
↓
↑
171.38 m
↓
N 55.856817°
W 11.417541°		 ← 171.42 m →
29 378 m²		 N 55.856817°
W 11.414795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61379 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468288421630859 y=0.312099456787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468288421630859 × 217)
    floor (0.468288421630859 × 131072)
    floor (61379.5)     		tx = 61379
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312099456787109 × 217)
    floor (0.312099456787109 × 131072)
    floor (40907.5)     		ty = 40907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61379 / 40907 ti = "17/61379/40907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61379/40907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61379 ÷ 217
    61379 ÷ 131072     		x = 0.468284606933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40907 ÷ 217
    40907 ÷ 131072     		y = 0.312095642089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468284606933594 × 2 - 1) × π
    -0.0634307861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19927369
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312095642089844 × 2 - 1) × π
    0.375808715820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.18063790074236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19927369} λ = -0.19927369}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18063790074236))-π/2
    2×atan(3.25645083288111)-π/2
    2×1.27285429524675-π/2
    2.5457085904935-1.57079632675     		φ = 0.97491226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19927369} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.417541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97491226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.858358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61379 KachelY 40907 -0.19927369 0.97491226 -11.417541 55.858358
    Oben rechts KachelX + 1 61380 KachelY 40907 -0.19922575 0.97491226 -11.414795 55.858358
    Unten links KachelX 61379 KachelY + 1 40908 -0.19927369 0.97488536 -11.417541 55.856817
    Unten rechts KachelX + 1 61380 KachelY + 1 40908 -0.19922575 0.97488536 -11.414795 55.856817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97491226-0.97488536) × R
    2.68999999999409e-05 × 6371000     		dl = 171.379899999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97491226-0.97488536) × R
    2.68999999999409e-05 × 6371000     		dr = 171.379899999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19927369--0.19922575) × cos(0.97491226) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.561240673952894 × 6371000     		do = 171.417348160148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19927369--0.19922575) × cos(0.97488536) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.561262937606065 × 6371000     		du = 171.424148052893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97491226)-sin(0.97488536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561240673952894-0.561262937606065)×R²
    abs(-0.19922575--0.19927369)×2.22636531713727e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22636531713727e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22636531713727e-05×40589641000000     		ar = 29378.0706700889m²