Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61377 / 29120
↖ ↑ ↗
← N 70.199994°
W 11.423035°		 ← 103.46 m → N 70.199994°
W 11.420288°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
N 70.199064°
W 11.423035°		 ← 103.46 m →
10 705 m²		 N 70.199064°
W 11.420288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468273162841797 y=0.222171783447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468273162841797 × 217)
    floor (0.468273162841797 × 131072)
    floor (61377.5)     		tx = 61377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222171783447266 × 217)
    floor (0.222171783447266 × 131072)
    floor (29120.5)     		ty = 29120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61377 / 29120 ti = "17/61377/29120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61377/29120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61377 ÷ 217
    61377 ÷ 131072     		x = 0.468269348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29120 ÷ 217
    29120 ÷ 131072     		y = 0.22216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468269348144531 × 2 - 1) × π
    -0.0634613037109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19936957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22216796875 × 2 - 1) × π
    0.5556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74567013656396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19936957} λ = -0.19936957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74567013656396))-π/2
    2×atan(5.72973989735144)-π/2
    2×1.39800867913665-π/2
    2.79601735827331-1.57079632675     		φ = 1.22522103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19936957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.423035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22522103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.199994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61377 KachelY 29120 -0.19936957 1.22522103 -11.423035 70.199994
    Oben rechts KachelX + 1 61378 KachelY 29120 -0.19932163 1.22522103 -11.420288 70.199994
    Unten links KachelX 61377 KachelY + 1 29121 -0.19936957 1.22520479 -11.423035 70.199064
    Unten rechts KachelX + 1 61378 KachelY + 1 29121 -0.19932163 1.22520479 -11.420288 70.199064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22522103-1.22520479) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dl = 103.465039999297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22522103-1.22520479) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dr = 103.465039999297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19936957--0.19932163) × cos(1.22522103) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.3387380189437 × 6371000     		do = 103.459310102006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19936957--0.19932163) × cos(1.22520479) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.338753298802141 × 6371000     		du = 103.463976964077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22522103)-sin(1.22520479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3387380189437-0.338753298802141)×R²
    abs(-0.19932163--0.19936957)×1.52798584409641e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.52798584409641e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.52798584409641e-05×40589641000000     		ar = 10704.6630867359m²