Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61375 / 77259
↖ ↑ ↗
← S 30.626095°
W 11.428528°		 ← 262.82 m → S 30.626095°
W 11.425781°		 →
↑
262.80 m
↓
↑
262.80 m
↓
S 30.628459°
W 11.428528°		 ← 262.82 m →
69 070 m²		 S 30.628459°
W 11.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468257904052734 y=0.589443206787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468257904052734 × 217)
    floor (0.468257904052734 × 131072)
    floor (61375.5)     		tx = 61375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589443206787109 × 217)
    floor (0.589443206787109 × 131072)
    floor (77259.5)     		ty = 77259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61375 / 77259 ti = "17/61375/77259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61375/77259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61375 ÷ 217
    61375 ÷ 131072     		x = 0.468254089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77259 ÷ 217
    77259 ÷ 131072     		y = 0.589439392089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468254089355469 × 2 - 1) × π
    -0.0634918212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19946544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589439392089844 × 2 - 1) × π
    -0.178878784179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.561964274245918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19946544} λ = -0.19946544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561964274245918))-π/2
    2×atan(0.570088153843397)-π/2
    2×0.518135062157454-π/2
    1.03627012431491-1.57079632675     		φ = -0.53452620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19946544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.428528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53452620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.626095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61375 KachelY 77259 -0.19946544 -0.53452620 -11.428528 -30.626095
    Oben rechts KachelX + 1 61376 KachelY 77259 -0.19941750 -0.53452620 -11.425781 -30.626095
    Unten links KachelX 61375 KachelY + 1 77260 -0.19946544 -0.53456745 -11.428528 -30.628459
    Unten rechts KachelX + 1 61376 KachelY + 1 77260 -0.19941750 -0.53456745 -11.425781 -30.628459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53452620--0.53456745) × R
    4.12500000001037e-05 × 6371000     		dl = 262.803750000661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53452620--0.53456745) × R
    4.12500000001037e-05 × 6371000     		dr = 262.803750000661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19946544--0.19941750) × cos(-0.53452620) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.86051009539088 × 6371000     		do = 262.82193266221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19946544--0.19941750) × cos(-0.53456745) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.860489080531569 × 6371000     		du = 262.815514183254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53452620)-sin(-0.53456745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86051009539088-0.860489080531569)×R²
    abs(-0.19941750--0.19946544)×2.10148593112747e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.10148593112747e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.10148593112747e-05×40589641000000     		ar = 69069.746095686m²