Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61372 / 40918
↖ ↑ ↗
← N 55.841398°
W 11.436768°		 ← 171.49 m → N 55.841398°
W 11.434021°		 →
↑
171.44 m
↓
↑
171.44 m
↓
N 55.839856°
W 11.436768°		 ← 171.50 m →
29 402 m²		 N 55.839856°
W 11.434021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468235015869141 y=0.312183380126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468235015869141 × 217)
    floor (0.468235015869141 × 131072)
    floor (61372.5)     		tx = 61372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312183380126953 × 217)
    floor (0.312183380126953 × 131072)
    floor (40918.5)     		ty = 40918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61372 / 40918 ti = "17/61372/40918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61372/40918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61372 ÷ 217
    61372 ÷ 131072     		x = 0.468231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40918 ÷ 217
    40918 ÷ 131072     		y = 0.312179565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468231201171875 × 2 - 1) × π
    -0.06353759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19960925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312179565429688 × 2 - 1) × π
    0.375640869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18011059484654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19960925} λ = -0.19960925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18011059484654))-π/2
    2×atan(3.25473413980845)-π/2
    2×1.27270629019726-π/2
    2.54541258039451-1.57079632675     		φ = 0.97461625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19960925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.436768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97461625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.841398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61372 KachelY 40918 -0.19960925 0.97461625 -11.436768 55.841398
    Oben rechts KachelX + 1 61373 KachelY 40918 -0.19956131 0.97461625 -11.434021 55.841398
    Unten links KachelX 61372 KachelY + 1 40919 -0.19960925 0.97458934 -11.436768 55.839856
    Unten rechts KachelX + 1 61373 KachelY + 1 40919 -0.19956131 0.97458934 -11.434021 55.839856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97461625-0.97458934) × R
    2.69099999999911e-05 × 6371000     		dl = 171.443609999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97461625-0.97458934) × R
    2.69099999999911e-05 × 6371000     		dr = 171.443609999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19960925--0.19956131) × cos(0.97461625) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.561485642821187 × 6371000     		do = 171.492167958023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19960925--0.19956131) × cos(0.97458934) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.561507910279034 × 6371000     		du = 171.498969012814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97461625)-sin(0.97458934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561485642821187-0.561507910279034)×R²
    abs(-0.19956131--0.19960925)×2.22674578473914e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22674578473914e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22674578473914e-05×40589641000000     		ar = 29401.8193617954m²