Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61370 / 34234
↖ ↑ ↗
← N 64.855940°
W 11.442261°		 ← 129.75 m → N 64.855940°
W 11.439514°		 →
↑
129.78 m
↓
↑
129.78 m
↓
N 64.854773°
W 11.442261°		 ← 129.75 m →
16 839 m²		 N 64.854773°
W 11.439514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468219757080078 y=0.261188507080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468219757080078 × 217)
    floor (0.468219757080078 × 131072)
    floor (61370.5)     		tx = 61370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261188507080078 × 217)
    floor (0.261188507080078 × 131072)
    floor (34234.5)     		ty = 34234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61370 / 34234 ti = "17/61370/34234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61370/34234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61370 ÷ 217
    61370 ÷ 131072     		x = 0.468215942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34234 ÷ 217
    34234 ÷ 131072     		y = 0.261184692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468215942382812 × 2 - 1) × π
    -0.063568115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19970512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261184692382812 × 2 - 1) × π
    0.477630615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.500520831907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19970512} λ = -0.19970512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.500520831907))-π/2
    2×atan(4.48402388497334)-π/2
    2×1.35137301172109-π/2
    2.70274602344218-1.57079632675     		φ = 1.13194970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19970512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.442261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13194970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.855940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61370 KachelY 34234 -0.19970512 1.13194970 -11.442261 64.855940
    Oben rechts KachelX + 1 61371 KachelY 34234 -0.19965719 1.13194970 -11.439514 64.855940
    Unten links KachelX 61370 KachelY + 1 34235 -0.19970512 1.13192933 -11.442261 64.854773
    Unten rechts KachelX + 1 61371 KachelY + 1 34235 -0.19965719 1.13192933 -11.439514 64.854773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13194970-1.13192933) × R
    2.03700000001028e-05 × 6371000     		dl = 129.777270000655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13194970-1.13192933) × R
    2.03700000001028e-05 × 6371000     		dr = 129.777270000655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19970512--0.19965719) × cos(1.13194970) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424895665664567 × 6371000     		do = 129.747003005538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19970512--0.19965719) × cos(1.13192933) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.424914105362645 × 6371000     		du = 129.752633789175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13194970)-sin(1.13192933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424895665664567-0.424914105362645)×R²
    abs(-0.19965719--0.19970512)×1.84396980778545e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84396980778545e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84396980778545e-05×40589641000000     		ar = 16838.5772150607m²