Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6137 / 6329
↖ ↑ ↗
← S 69.549877°
E 89.692383°		 ← 1 707.30 m → S 69.549877°
E 89.736328°		 →
↑
1 706.73 m
↓
↑
1 706.73 m
↓
S 69.565226°
E 89.692383°		 ← 1 706.07 m →
2 912 850 m²		 S 69.565226°
E 89.736328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.74920654296875 y=0.77264404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.74920654296875 × 213)
    floor (0.74920654296875 × 8192)
    floor (6137.5)     		tx = 6137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77264404296875 × 213)
    floor (0.77264404296875 × 8192)
    floor (6329.5)     		ty = 6329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6137 / 6329 ti = "13/6137/6329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6137/6329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6137 ÷ 213
    6137 ÷ 8192     		x = 0.7491455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6329 ÷ 213
    6329 ÷ 8192     		y = 0.7725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7491455078125 × 2 - 1) × π
    0.498291015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.56542739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.545166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.71268954962537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.56542739} λ = 1.56542739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71268954962537))-π/2
    2×atan(0.180379998668653)-π/2
    2×0.178460986930395-π/2
    0.356921973860791-1.57079632675     		φ = -1.21387435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.56542739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 89.692383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21387435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.549877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6137 KachelY 6329 1.56542739 -1.21387435 89.692383 -69.549877
    Oben rechts KachelX + 1 6138 KachelY 6329 1.56619438 -1.21387435 89.736328 -69.549877
    Unten links KachelX 6137 KachelY + 1 6330 1.56542739 -1.21414224 89.692383 -69.565226
    Unten rechts KachelX + 1 6138 KachelY + 1 6330 1.56619438 -1.21414224 89.736328 -69.565226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21387435--1.21414224) × R
    0.000267889999999937 × 6371000     		dl = 1706.7271899996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21387435--1.21414224) × R
    0.000267889999999937 × 6371000     		dr = 1706.7271899996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.56542739-1.56619438) × cos(-1.21387435) × R
    0.000766990000000023 × 0.349391856921296 × 6371000     		do = 1707.3009644266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.56542739-1.56619438) × cos(-1.21414224) × R
    0.000766990000000023 × 0.349140837699934 × 6371000     		du = 1706.07436068576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21387435)-sin(-1.21414224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.349391856921296-0.349140837699934)×R²
    abs(1.56619438-1.56542739)×0.000251019221361615×R²
    0.000766990000000023×0.000251019221361615×6371000²
    0.000766990000000023×0.000251019221361615×40589641000000     		ar = 2912850.25594188m²