Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61369 / 77273
↖ ↑ ↗
← S 30.659178°
W 11.445007°		 ← 262.73 m → S 30.659178°
W 11.442261°		 →
↑
262.68 m
↓
↑
262.68 m
↓
S 30.661541°
W 11.445007°		 ← 262.73 m →
69 013 m²		 S 30.661541°
W 11.442261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468212127685547 y=0.589550018310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468212127685547 × 217)
    floor (0.468212127685547 × 131072)
    floor (61369.5)     		tx = 61369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589550018310547 × 217)
    floor (0.589550018310547 × 131072)
    floor (77273.5)     		ty = 77273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61369 / 77273 ti = "17/61369/77273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61369/77273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61369 ÷ 217
    61369 ÷ 131072     		x = 0.468208312988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77273 ÷ 217
    77273 ÷ 131072     		y = 0.589546203613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468208312988281 × 2 - 1) × π
    -0.0635833740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19975306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589546203613281 × 2 - 1) × π
    -0.179092407226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.562635390840599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19975306} λ = -0.19975306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.562635390840599))-π/2
    2×atan(0.569705686577341)-π/2
    2×0.517846360226319-π/2
    1.03569272045264-1.57079632675     		φ = -0.53510361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19975306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.445007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53510361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.659178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61369 KachelY 77273 -0.19975306 -0.53510361 -11.445007 -30.659178
    Oben rechts KachelX + 1 61370 KachelY 77273 -0.19970512 -0.53510361 -11.442261 -30.659178
    Unten links KachelX 61369 KachelY + 1 77274 -0.19975306 -0.53514484 -11.445007 -30.661541
    Unten rechts KachelX + 1 61370 KachelY + 1 77274 -0.19970512 -0.53514484 -11.442261 -30.661541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53510361--0.53514484) × R
    4.12300000000032e-05 × 6371000     		dl = 262.67633000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53510361--0.53514484) × R
    4.12300000000032e-05 × 6371000     		dr = 262.67633000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19975306--0.19970512) × cos(-0.53510361) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.860215800027249 × 6371000     		do = 262.732047282995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19975306--0.19970512) × cos(-0.53514484) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.860194774875236 × 6371000     		du = 262.725625660382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53510361)-sin(-0.53514484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860215800027249-0.860194774875236)×R²
    abs(-0.19970512--0.19975306)×2.10251520130766e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.10251520130766e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.10251520130766e-05×40589641000000     		ar = 69012.6465593198m²