Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61367 / 34137
↖ ↑ ↗
← N 64.968903°
W 11.450500°		 ← 129.20 m → N 64.968903°
W 11.447754°		 →
↑
129.27 m
↓
↑
129.27 m
↓
N 64.967740°
W 11.450500°		 ← 129.21 m →
16 702 m²		 N 64.967740°
W 11.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468196868896484 y=0.260448455810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468196868896484 × 217)
    floor (0.468196868896484 × 131072)
    floor (61367.5)     		tx = 61367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260448455810547 × 217)
    floor (0.260448455810547 × 131072)
    floor (34137.5)     		ty = 34137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61367 / 34137 ti = "17/61367/34137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61367/34137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61367 ÷ 217
    61367 ÷ 131072     		x = 0.468193054199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34137 ÷ 217
    34137 ÷ 131072     		y = 0.260444641113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468193054199219 × 2 - 1) × π
    -0.0636138916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19984893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260444641113281 × 2 - 1) × π
    0.479110717773438 × 3.1415926535     		Φ = 1.50517071117014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19984893} λ = -0.19984893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50517071117014))-π/2
    2×atan(4.50492260525966)-π/2
    2×1.35235879169856-π/2
    2.70471758339713-1.57079632675     		φ = 1.13392126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19984893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.450500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13392126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.968903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61367 KachelY 34137 -0.19984893 1.13392126 -11.450500 64.968903
    Oben rechts KachelX + 1 61368 KachelY 34137 -0.19980100 1.13392126 -11.447754 64.968903
    Unten links KachelX 61367 KachelY + 1 34138 -0.19984893 1.13390097 -11.450500 64.967740
    Unten rechts KachelX + 1 61368 KachelY + 1 34138 -0.19980100 1.13390097 -11.447754 64.967740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13392126-1.13390097) × R
    2.02899999999229e-05 × 6371000     		dl = 129.267589999509m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13392126-1.13390097) × R
    2.02899999999229e-05 × 6371000     		dr = 129.267589999509m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19984893--0.19980100) × cos(1.13392126) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.423110101460794 × 6371000     		do = 129.201759495578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19984893--0.19980100) × cos(1.13390097) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.423128485701917 × 6371000     		du = 129.207373344767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13392126)-sin(1.13390097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423110101460794-0.423128485701917)×R²
    abs(-0.19980100--0.19984893)×1.83842411226598e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.83842411226598e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.83842411226598e-05×40589641000000     		ar = 16701.9629185333m²