Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61366 / 34229
↖ ↑ ↗
← N 64.861775°
W 11.453247°		 ← 129.75 m → N 64.861775°
W 11.450500°		 →
↑
129.78 m
↓
↑
129.78 m
↓
N 64.860608°
W 11.453247°		 ← 129.75 m →
16 838 m²		 N 64.860608°
W 11.450500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468189239501953 y=0.261150360107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468189239501953 × 217)
    floor (0.468189239501953 × 131072)
    floor (61366.5)     		tx = 61366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261150360107422 × 217)
    floor (0.261150360107422 × 131072)
    floor (34229.5)     		ty = 34229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61366 / 34229 ti = "17/61366/34229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61366/34229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61366 ÷ 217
    61366 ÷ 131072     		x = 0.468185424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34229 ÷ 217
    34229 ÷ 131072     		y = 0.261146545410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468185424804688 × 2 - 1) × π
    -0.063629150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19989687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261146545410156 × 2 - 1) × π
    0.477706909179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.5007605164051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19989687} λ = -0.19989687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5007605164051))-π/2
    2×atan(4.48509876479855)-π/2
    2×1.35142392664978-π/2
    2.70284785329956-1.57079632675     		φ = 1.13205153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19989687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.453247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13205153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.861775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61366 KachelY 34229 -0.19989687 1.13205153 -11.453247 64.861775
    Oben rechts KachelX + 1 61367 KachelY 34229 -0.19984893 1.13205153 -11.450500 64.861775
    Unten links KachelX 61366 KachelY + 1 34230 -0.19989687 1.13203116 -11.453247 64.860608
    Unten rechts KachelX + 1 61367 KachelY + 1 34230 -0.19984893 1.13203116 -11.450500 64.860608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13205153-1.13203116) × R
    2.03700000001028e-05 × 6371000     		dl = 129.777270000655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13205153-1.13203116) × R
    2.03700000001028e-05 × 6371000     		dr = 129.777270000655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19989687--0.19984893) × cos(1.13205153) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42480348263547 × 6371000     		do = 129.745918038506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19989687--0.19984893) × cos(1.13203116) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424821923214823 × 6371000     		du = 129.7515502661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13205153)-sin(1.13203116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42480348263547-0.424821923214823)×R²
    abs(-0.19984893--0.19989687)×1.84405793526854e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84405793526854e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84405793526854e-05×40589641000000     		ar = 16838.4365050024m²