Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61363 / 40596
↖ ↑ ↗
← N 56.334811°
W 11.461487°		 ← 169.27 m → N 56.334811°
W 11.458741°		 →
↑
169.28 m
↓
↑
169.28 m
↓
N 56.333289°
W 11.461487°		 ← 169.28 m →
28 655 m²		 N 56.333289°
W 11.458741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468166351318359 y=0.309726715087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468166351318359 × 217)
    floor (0.468166351318359 × 131072)
    floor (61363.5)     		tx = 61363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309726715087891 × 217)
    floor (0.309726715087891 × 131072)
    floor (40596.5)     		ty = 40596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61363 / 40596 ti = "17/61363/40596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61363/40596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61363 ÷ 217
    61363 ÷ 131072     		x = 0.468162536621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40596 ÷ 217
    40596 ÷ 131072     		y = 0.309722900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468162536621094 × 2 - 1) × π
    -0.0636749267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20004068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309722900390625 × 2 - 1) × π
    0.38055419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1955462765242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20004068} λ = -0.20004068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1955462765242))-π/2
    2×atan(3.30536291956842)-π/2
    2×1.27701213583415-π/2
    2.55402427166829-1.57079632675     		φ = 0.98322794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20004068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.461487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98322794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.334811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61363 KachelY 40596 -0.20004068 0.98322794 -11.461487 56.334811
    Oben rechts KachelX + 1 61364 KachelY 40596 -0.19999275 0.98322794 -11.458741 56.334811
    Unten links KachelX 61363 KachelY + 1 40597 -0.20004068 0.98320137 -11.461487 56.333289
    Unten rechts KachelX + 1 61364 KachelY + 1 40597 -0.19999275 0.98320137 -11.458741 56.333289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98322794-0.98320137) × R
    2.6570000000059e-05 × 6371000     		dl = 169.277470000376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98322794-0.98320137) × R
    2.6570000000059e-05 × 6371000     		dr = 169.277470000376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20004068--0.19999275) × cos(0.98322794) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.554338853766968 × 6371000     		do = 169.27403769416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20004068--0.19999275) × cos(0.98320137) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.554360967545183 × 6371000     		du = 169.280790402367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98322794)-sin(0.98320137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554338853766968-0.554360967545183)×R²
    abs(-0.19999275--0.20004068)×2.21137782151493e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21137782151493e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21137782151493e-05×40589641000000     		ar = 28654.8523798485m²