Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61361 / 40597
↖ ↑ ↗
← N 56.333289°
W 11.466980°		 ← 169.32 m → N 56.333289°
W 11.464233°		 →
↑
169.28 m
↓
↑
169.28 m
↓
N 56.331767°
W 11.466980°		 ← 169.32 m →
28 662 m²		 N 56.331767°
W 11.464233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468151092529297 y=0.309734344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468151092529297 × 217)
    floor (0.468151092529297 × 131072)
    floor (61361.5)     		tx = 61361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309734344482422 × 217)
    floor (0.309734344482422 × 131072)
    floor (40597.5)     		ty = 40597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61361 / 40597 ti = "17/61361/40597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61361/40597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61361 ÷ 217
    61361 ÷ 131072     		x = 0.468147277832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40597 ÷ 217
    40597 ÷ 131072     		y = 0.309730529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468147277832031 × 2 - 1) × π
    -0.0637054443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20013656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309730529785156 × 2 - 1) × π
    0.380538940429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.19549833962458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20013656} λ = -0.20013656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19549833962458))-π/2
    2×atan(3.30520447451565)-π/2
    2×1.27699884892619-π/2
    2.55399769785239-1.57079632675     		φ = 0.98320137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20013656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.466980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98320137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.333289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61361 KachelY 40597 -0.20013656 0.98320137 -11.466980 56.333289
    Oben rechts KachelX + 1 61362 KachelY 40597 -0.20008862 0.98320137 -11.464233 56.333289
    Unten links KachelX 61361 KachelY + 1 40598 -0.20013656 0.98317480 -11.466980 56.331767
    Unten rechts KachelX + 1 61362 KachelY + 1 40598 -0.20008862 0.98317480 -11.464233 56.331767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98320137-0.98317480) × R
    2.6569999999948e-05 × 6371000     		dl = 169.277469999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98320137-0.98317480) × R
    2.6569999999948e-05 × 6371000     		dr = 169.277469999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20013656--0.20008862) × cos(0.98320137) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.554360967545183 × 6371000     		do = 169.31610873959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20013656--0.20008862) × cos(0.98317480) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.554383080932038 × 6371000     		du = 169.322862737135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98320137)-sin(0.98317480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554360967545183-0.554383080932038)×R²
    abs(-0.20008862--0.20013656)×2.21133868556489e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21133868556489e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21133868556489e-05×40589641000000     		ar = 28661.9741691138m²