Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61361 / 14053
↖ ↑ ↗
← N 71.122103°
E157.066040°		 ← 197.64 m → N 71.122103°
E157.071533°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
N 71.120326°
E157.066040°		 ← 197.66 m →
39 062 m²		 N 71.120326°
E157.071533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61361 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.936302185058594 y=0.214439392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.936302185058594 × 216)
    floor (0.936302185058594 × 65536)
    floor (61361.5)     		tx = 61361
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214439392089844 × 216)
    floor (0.214439392089844 × 65536)
    floor (14053.5)     		ty = 14053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61361 / 14053 ti = "16/61361/14053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61361/14053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61361 ÷ 216
    61361 ÷ 65536     		x = 0.936294555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14053 ÷ 216
    14053 ÷ 65536     		y = 0.214431762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.936294555664062 × 2 - 1) × π
    0.872589111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.74131954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214431762695312 × 2 - 1) × π
    0.571136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.7942781527787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74131954} λ = 2.74131954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7942781527787))-π/2
    2×atan(6.01513114859237)-π/2
    2×1.40605559833528-π/2
    2.81211119667056-1.57079632675     		φ = 1.24131487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74131954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.066040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24131487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.122103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61361 KachelY 14053 2.74131954 1.24131487 157.066040 71.122103
    Oben rechts KachelX + 1 61362 KachelY 14053 2.74141542 1.24131487 157.071533 71.122103
    Unten links KachelX 61361 KachelY + 1 14054 2.74131954 1.24128385 157.066040 71.120326
    Unten rechts KachelX + 1 61362 KachelY + 1 14054 2.74141542 1.24128385 157.071533 71.120326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24131487-1.24128385) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dl = 197.628419999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24131487-1.24128385) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dr = 197.628419999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74131954-2.74141542) × cos(1.24131487) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.323552421022389 × 6371000     		do = 197.64247523898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74131954-2.74141542) × cos(1.24128385) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.323581772308568 × 6371000     		du = 197.660404515582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24131487)-sin(1.24128385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323552421022389-0.323581772308568)×R²
    abs(2.74141542-2.74131954)×2.93512861785361e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.93512861785361e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.93512861785361e-05×40589641000000     		ar = 39061.5417769113m²