Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61359 / 34223
↖ ↑ ↗
← N 64.868774°
W 11.472473°		 ← 129.71 m → N 64.868774°
W 11.469726°		 →
↑
129.71 m
↓
↑
129.71 m
↓
N 64.867608°
W 11.472473°		 ← 129.72 m →
16 826 m²		 N 64.867608°
W 11.469726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468135833740234 y=0.261104583740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468135833740234 × 217)
    floor (0.468135833740234 × 131072)
    floor (61359.5)     		tx = 61359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261104583740234 × 217)
    floor (0.261104583740234 × 131072)
    floor (34223.5)     		ty = 34223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61359 / 34223 ti = "17/61359/34223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61359/34223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61359 ÷ 217
    61359 ÷ 131072     		x = 0.468132019042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34223 ÷ 217
    34223 ÷ 131072     		y = 0.261100769042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468132019042969 × 2 - 1) × π
    -0.0637359619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20023243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261100769042969 × 2 - 1) × π
    0.477798461914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.50104813780282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20023243} λ = -0.20023243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50104813780282))-π/2
    2×atan(4.48638896070928)-π/2
    2×1.35148500998303-π/2
    2.70297001996606-1.57079632675     		φ = 1.13217369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20023243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.472473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13217369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.868774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61359 KachelY 34223 -0.20023243 1.13217369 -11.472473 64.868774
    Oben rechts KachelX + 1 61360 KachelY 34223 -0.20018449 1.13217369 -11.469726 64.868774
    Unten links KachelX 61359 KachelY + 1 34224 -0.20023243 1.13215333 -11.472473 64.867608
    Unten rechts KachelX + 1 61360 KachelY + 1 34224 -0.20018449 1.13215333 -11.469726 64.867608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13217369-1.13215333) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dl = 129.713559999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13217369-1.13215333) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dr = 129.713559999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20023243--0.20018449) × cos(1.13217369) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424692889778272 × 6371000     		do = 129.712140133257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20023243--0.20018449) × cos(1.13215333) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424711322361303 × 6371000     		du = 129.717769918569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13217369)-sin(1.13215333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424692889778272-0.424711322361303)×R²
    abs(-0.20018449--0.20023243)×1.84325830302479e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84325830302479e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84325830302479e-05×40589641000000     		ar = 16825.7886020498m²