Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61358 / 76650
↖ ↑ ↗
← S 29.176145°
W 11.475220°		 ← 266.67 m → S 29.176145°
W 11.472473°		 →
↑
266.63 m
↓
↑
266.63 m
↓
S 29.178543°
W 11.475220°		 ← 266.67 m →
71 102 m²		 S 29.178543°
W 11.472473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468128204345703 y=0.584796905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468128204345703 × 217)
    floor (0.468128204345703 × 131072)
    floor (61358.5)     		tx = 61358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584796905517578 × 217)
    floor (0.584796905517578 × 131072)
    floor (76650.5)     		ty = 76650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61358 / 76650 ti = "17/61358/76650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61358/76650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61358 ÷ 217
    61358 ÷ 131072     		x = 0.468124389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76650 ÷ 217
    76650 ÷ 131072     		y = 0.584793090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468124389648438 × 2 - 1) × π
    -0.063751220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20028037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584793090820312 × 2 - 1) × π
    -0.169586181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.532770702377304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20028037} λ = -0.20028037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.532770702377304))-π/2
    2×atan(0.586976377703266)-π/2
    2×0.530788265166321-π/2
    1.06157653033264-1.57079632675     		φ = -0.50921980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20028037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.475220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50921980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.176145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61358 KachelY 76650 -0.20028037 -0.50921980 -11.475220 -29.176145
    Oben rechts KachelX + 1 61359 KachelY 76650 -0.20023243 -0.50921980 -11.472473 -29.176145
    Unten links KachelX 61358 KachelY + 1 76651 -0.20028037 -0.50926165 -11.475220 -29.178543
    Unten rechts KachelX + 1 61359 KachelY + 1 76651 -0.20023243 -0.50926165 -11.472473 -29.178543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50921980--0.50926165) × R
    4.18500000000099e-05 × 6371000     		dl = 266.626350000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50921980--0.50926165) × R
    4.18500000000099e-05 × 6371000     		dr = 266.626350000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20028037--0.20023243) × cos(-0.50921980) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873125117870097 × 6371000     		do = 266.674885238196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20028037--0.20023243) × cos(-0.50926165) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873104715390235 × 6371000     		du = 266.668653795686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50921980)-sin(-0.50926165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873125117870097-0.873104715390235)×R²
    abs(-0.20023243--0.20028037)×2.04024798626801e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04024798626801e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04024798626801e-05×40589641000000     		ar = 71101.7205646541m²