Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61357 / 34221
↖ ↑ ↗
← N 64.871107°
W 11.477966°		 ← 129.67 m → N 64.871107°
W 11.475220°		 →
↑
129.71 m
↓
↑
129.71 m
↓
N 64.869941°
W 11.477966°		 ← 129.68 m →
16 821 m²		 N 64.869941°
W 11.475220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468120574951172 y=0.261089324951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468120574951172 × 217)
    floor (0.468120574951172 × 131072)
    floor (61357.5)     		tx = 61357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261089324951172 × 217)
    floor (0.261089324951172 × 131072)
    floor (34221.5)     		ty = 34221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61357 / 34221 ti = "17/61357/34221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61357/34221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61357 ÷ 217
    61357 ÷ 131072     		x = 0.468116760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34221 ÷ 217
    34221 ÷ 131072     		y = 0.261085510253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468116760253906 × 2 - 1) × π
    -0.0637664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20032830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261085510253906 × 2 - 1) × π
    0.477828979492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.50114401160206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20032830} λ = -0.20032830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50114401160206))-π/2
    2×atan(4.48681910848343)-π/2
    2×1.3515053675598-π/2
    2.7030107351196-1.57079632675     		φ = 1.13221441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20032830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.477966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13221441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.871107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61357 KachelY 34221 -0.20032830 1.13221441 -11.477966 64.871107
    Oben rechts KachelX + 1 61358 KachelY 34221 -0.20028037 1.13221441 -11.475220 64.871107
    Unten links KachelX 61357 KachelY + 1 34222 -0.20032830 1.13219405 -11.477966 64.869941
    Unten rechts KachelX + 1 61358 KachelY + 1 34222 -0.20028037 1.13219405 -11.475220 64.869941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13221441-1.13219405) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dl = 129.713559999628m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13221441-1.13219405) × R
    2.03599999999415e-05 × 6371000     		dr = 129.713559999628m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20032830--0.20028037) × cos(1.13221441) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.424656024084076 × 6371000     		do = 129.673825565972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20032830--0.20028037) × cos(1.13219405) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.424674457019194 × 6371000     		du = 129.679454284458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13221441)-sin(1.13219405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424656024084076-0.424674457019194)×R²
    abs(-0.20028037--0.20032830)×1.84329351181067e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.84329351181067e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.84329351181067e-05×40589641000000     		ar = 16820.8186141905m²