Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61356 / 34205
↖ ↑ ↗
← N 64.889762°
W 11.480713°		 ← 129.61 m → N 64.889762°
W 11.477966°		 →
↑
129.59 m
↓
↑
129.59 m
↓
N 64.888597°
W 11.480713°		 ← 129.62 m →
16 796 m²		 N 64.888597°
W 11.477966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468112945556641 y=0.260967254638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468112945556641 × 217)
    floor (0.468112945556641 × 131072)
    floor (61356.5)     		tx = 61356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260967254638672 × 217)
    floor (0.260967254638672 × 131072)
    floor (34205.5)     		ty = 34205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61356 / 34205 ti = "17/61356/34205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61356/34205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61356 ÷ 217
    61356 ÷ 131072     		x = 0.468109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34205 ÷ 217
    34205 ÷ 131072     		y = 0.260963439941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.06378173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20037624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260963439941406 × 2 - 1) × π
    0.478073120117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.50191100199598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20037624} λ = -0.20037624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50191100199598))-π/2
    2×atan(4.49026177571648)-π/2
    2×1.35166816457357-π/2
    2.70333632914713-1.57079632675     		φ = 1.13254000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20037624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.480713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13254000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.889762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61356 KachelY 34205 -0.20037624 1.13254000 -11.480713 64.889762
    Oben rechts KachelX + 1 61357 KachelY 34205 -0.20032830 1.13254000 -11.477966 64.889762
    Unten links KachelX 61356 KachelY + 1 34206 -0.20037624 1.13251966 -11.480713 64.888597
    Unten rechts KachelX + 1 61357 KachelY + 1 34206 -0.20032830 1.13251966 -11.477966 64.888597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13254000-1.13251966) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dl = 129.586140000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13254000-1.13251966) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dr = 129.586140000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20037624--0.20032830) × cos(1.13254000) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.424361227120776 × 6371000     		do = 129.610841820736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20037624--0.20032830) × cos(1.13251966) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.424379644760341 × 6371000     		du = 129.616467041929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13254000)-sin(1.13251966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424361227120776-0.424379644760341)×R²
    abs(-0.20032830--0.20037624)×1.84176395653379e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.84176395653379e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.84176395653379e-05×40589641000000     		ar = 16796.1331696913m²