Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61356 / 34197
↖ ↑ ↗
← N 64.899085°
W 11.480713°		 ← 129.57 m → N 64.899085°
W 11.477966°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
N 64.897920°
W 11.480713°		 ← 129.57 m →
16 782 m²		 N 64.897920°
W 11.477966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468112945556641 y=0.260906219482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468112945556641 × 217)
    floor (0.468112945556641 × 131072)
    floor (61356.5)     		tx = 61356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260906219482422 × 217)
    floor (0.260906219482422 × 131072)
    floor (34197.5)     		ty = 34197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61356 / 34197 ti = "17/61356/34197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61356/34197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61356 ÷ 217
    61356 ÷ 131072     		x = 0.468109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34197 ÷ 217
    34197 ÷ 131072     		y = 0.260902404785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.06378173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20037624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260902404785156 × 2 - 1) × π
    0.478195190429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.50229449719294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20037624} λ = -0.20037624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50229449719294))-π/2
    2×atan(4.49198409977095)-π/2
    2×1.35174952069262-π/2
    2.70349904138524-1.57079632675     		φ = 1.13270271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20037624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.480713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13270271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.899085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61356 KachelY 34197 -0.20037624 1.13270271 -11.480713 64.899085
    Oben rechts KachelX + 1 61357 KachelY 34197 -0.20032830 1.13270271 -11.477966 64.899085
    Unten links KachelX 61356 KachelY + 1 34198 -0.20037624 1.13268238 -11.480713 64.897920
    Unten rechts KachelX + 1 61357 KachelY + 1 34198 -0.20032830 1.13268238 -11.477966 64.897920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13270271-1.13268238) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dl = 129.522429999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13270271-1.13268238) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dr = 129.522429999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20037624--0.20032830) × cos(1.13270271) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.424213888740179 × 6371000     		do = 129.565840886812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20037624--0.20032830) × cos(1.13268238) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.42423229872843 × 6371000     		du = 129.571463771097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13270271)-sin(1.13268238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424213888740179-0.42423229872843)×R²
    abs(-0.20032830--0.20037624)×1.84099882504785e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.84099882504785e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.84099882504785e-05×40589641000000     		ar = 16782.0467019723m²