Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61355 / 34203
↖ ↑ ↗
← N 64.892093°
W 11.483460°		 ← 129.60 m → N 64.892093°
W 11.480713°		 →
↑
129.65 m
↓
↑
129.65 m
↓
N 64.890928°
W 11.483460°		 ← 129.61 m →
16 803 m²		 N 64.890928°
W 11.480713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468105316162109 y=0.260951995849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468105316162109 × 217)
    floor (0.468105316162109 × 131072)
    floor (61355.5)     		tx = 61355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260951995849609 × 217)
    floor (0.260951995849609 × 131072)
    floor (34203.5)     		ty = 34203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61355 / 34203 ti = "17/61355/34203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61355/34203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61355 ÷ 217
    61355 ÷ 131072     		x = 0.468101501464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34203 ÷ 217
    34203 ÷ 131072     		y = 0.260948181152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468101501464844 × 2 - 1) × π
    -0.0637969970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20042418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260948181152344 × 2 - 1) × π
    0.478103637695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.50200687579522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20042418} λ = -0.20042418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50200687579522))-π/2
    2×atan(4.49069229480992)-π/2
    2×1.35168850625203-π/2
    2.70337701250406-1.57079632675     		φ = 1.13258069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20042418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.483460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13258069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.892093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61355 KachelY 34203 -0.20042418 1.13258069 -11.483460 64.892093
    Oben rechts KachelX + 1 61356 KachelY 34203 -0.20037624 1.13258069 -11.480713 64.892093
    Unten links KachelX 61355 KachelY + 1 34204 -0.20042418 1.13256034 -11.483460 64.890928
    Unten rechts KachelX + 1 61356 KachelY + 1 34204 -0.20037624 1.13256034 -11.480713 64.890928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13258069-1.13256034) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dl = 129.649850000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13258069-1.13256034) × R
    2.03500000000023e-05 × 6371000     		dr = 129.649850000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20042418--0.20037624) × cos(1.13258069) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424324382259856 × 6371000     		do = 129.599588451749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20042418--0.20037624) × cos(1.13256034) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424342809305646 × 6371000     		du = 129.605216545846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13258069)-sin(1.13256034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424324382259856-0.424342809305646)×R²
    abs(-0.20037624--0.20042418)×1.84270457898594e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84270457898594e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84270457898594e-05×40589641000000     		ar = 16802.9320441245m²