Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61352 / 39079
↖ ↑ ↗
← N 58.575413°
W 11.491699°		 ← 159.24 m → N 58.575413°
W 11.488953°		 →
↑
159.21 m
↓
↑
159.21 m
↓
N 58.573981°
W 11.491699°		 ← 159.25 m →
25 354 m²		 N 58.573981°
W 11.488953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468082427978516 y=0.298152923583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468082427978516 × 217)
    floor (0.468082427978516 × 131072)
    floor (61352.5)     		tx = 61352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298152923583984 × 217)
    floor (0.298152923583984 × 131072)
    floor (39079.5)     		ty = 39079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61352 / 39079 ti = "17/61352/39079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61352/39079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61352 ÷ 217
    61352 ÷ 131072     		x = 0.46807861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39079 ÷ 217
    39079 ÷ 131072     		y = 0.298149108886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46807861328125 × 2 - 1) × π
    -0.0638427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20056799
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298149108886719 × 2 - 1) × π
    0.403701782226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.26826655324783
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20056799} λ = -0.20056799}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26826655324783))-π/2
    2×atan(3.55468536084833)-π/2
    2×1.29656507317649-π/2
    2.59313014635297-1.57079632675     		φ = 1.02233382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20056799} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.491699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02233382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.575413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61352 KachelY 39079 -0.20056799 1.02233382 -11.491699 58.575413
    Oben rechts KachelX + 1 61353 KachelY 39079 -0.20052005 1.02233382 -11.488953 58.575413
    Unten links KachelX 61352 KachelY + 1 39080 -0.20056799 1.02230883 -11.491699 58.573981
    Unten rechts KachelX + 1 61353 KachelY + 1 39080 -0.20052005 1.02230883 -11.488953 58.573981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02233382-1.02230883) × R
    2.49900000000025e-05 × 6371000     		dl = 159.211290000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02233382-1.02230883) × R
    2.49900000000025e-05 × 6371000     		dr = 159.211290000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20056799--0.20052005) × cos(1.02233382) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.521375861000998 × 6371000     		do = 159.241608164355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20056799--0.20052005) × cos(1.02230883) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.521397185483479 × 6371000     		du = 159.248121210197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02233382)-sin(1.02230883))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521375861000998-0.521397185483479)×R²
    abs(-0.20052005--0.20056799)×2.13244824809333e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13244824809333e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13244824809333e-05×40589641000000     		ar = 25353.5803339353m²