Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61351 / 39081
↖ ↑ ↗
← N 58.572549°
W 11.494446°		 ← 159.22 m → N 58.572549°
W 11.491699°		 →
↑
159.21 m
↓
↑
159.21 m
↓
N 58.571117°
W 11.494446°		 ← 159.23 m →
25 350 m²		 N 58.571117°
W 11.491699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468074798583984 y=0.298168182373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468074798583984 × 217)
    floor (0.468074798583984 × 131072)
    floor (61351.5)     		tx = 61351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298168182373047 × 217)
    floor (0.298168182373047 × 131072)
    floor (39081.5)     		ty = 39081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61351 / 39081 ti = "17/61351/39081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61351/39081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61351 ÷ 217
    61351 ÷ 131072     		x = 0.468070983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39081 ÷ 217
    39081 ÷ 131072     		y = 0.298164367675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468070983886719 × 2 - 1) × π
    -0.0638580322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20061592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298164367675781 × 2 - 1) × π
    0.403671264648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.26817067944859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20061592} λ = -0.20061592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26817067944859))-π/2
    2×atan(3.55434457599411)-π/2
    2×1.29654007901177-π/2
    2.59308015802354-1.57079632675     		φ = 1.02228383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20061592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.494446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02228383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.572549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61351 KachelY 39081 -0.20061592 1.02228383 -11.494446 58.572549
    Oben rechts KachelX + 1 61352 KachelY 39081 -0.20056799 1.02228383 -11.491699 58.572549
    Unten links KachelX 61351 KachelY + 1 39082 -0.20061592 1.02225884 -11.494446 58.571117
    Unten rechts KachelX + 1 61352 KachelY + 1 39082 -0.20056799 1.02225884 -11.491699 58.571117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02228383-1.02225884) × R
    2.49900000000025e-05 × 6371000     		dl = 159.211290000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02228383-1.02225884) × R
    2.49900000000025e-05 × 6371000     		dr = 159.211290000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20061592--0.20056799) × cos(1.02228383) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.521418518173358 × 6371000     		do = 159.221417189014m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20061592--0.20056799) × cos(1.02225884) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.52143984200447 × 6371000     		du = 159.22792867737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02228383)-sin(1.02225884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.521418518173358-0.52143984200447)×R²
    abs(-0.20056799--0.20061592)×2.13238311121966e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.13238311121966e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.13238311121966e-05×40589641000000     		ar = 25350.3655789894m²