Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61346 / 14051
↖ ↑ ↗
← N 71.125657°
E156.983642°		 ← 197.61 m → N 71.125657°
E156.989136°		 →
↑
197.56 m
↓
↑
197.56 m
↓
N 71.123880°
E156.983642°		 ← 197.62 m →
39 042 m²		 N 71.123880°
E156.989136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.936073303222656 y=0.214408874511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.936073303222656 × 216)
    floor (0.936073303222656 × 65536)
    floor (61346.5)     		tx = 61346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214408874511719 × 216)
    floor (0.214408874511719 × 65536)
    floor (14051.5)     		ty = 14051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61346 / 14051 ti = "16/61346/14051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61346/14051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61346 ÷ 216
    61346 ÷ 65536     		x = 0.936065673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14051 ÷ 216
    14051 ÷ 65536     		y = 0.214401245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.936065673828125 × 2 - 1) × π
    0.87213134765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73988143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214401245117188 × 2 - 1) × π
    0.571197509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79446990037718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73988143} λ = 2.73988143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79446990037718))-π/2
    2×atan(6.01628464613132)-π/2
    2×1.40608661572125-π/2
    2.8121732314425-1.57079632675     		φ = 1.24137690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73988143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.983642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24137690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.125657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61346 KachelY 14051 2.73988143 1.24137690 156.983642 71.125657
    Oben rechts KachelX + 1 61347 KachelY 14051 2.73997731 1.24137690 156.989136 71.125657
    Unten links KachelX 61346 KachelY + 1 14052 2.73988143 1.24134589 156.983642 71.123880
    Unten rechts KachelX + 1 61347 KachelY + 1 14052 2.73997731 1.24134589 156.989136 71.123880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24137690-1.24134589) × R
    3.10099999998315e-05 × 6371000     		dl = 197.564709998926m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24137690-1.24134589) × R
    3.10099999998315e-05 × 6371000     		dr = 197.564709998926m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73988143-2.73997731) × cos(1.24137690) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.323493726978358 × 6371000     		do = 197.606621895316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73988143-2.73997731) × cos(1.24134589) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.323523069424875 × 6371000     		du = 197.624545772198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24137690)-sin(1.24134589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323493726978358-0.323523069424875)×R²
    abs(2.73997731-2.73988143)×2.93424465173664e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.93424465173664e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.93424465173664e-05×40589641000000     		ar = 39041.8655147348m²