Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61344 / 84192
↖ ↑ ↗
← S 45.521744°
W 11.513672°		 ← 213.95 m → S 45.521744°
W 11.510926°		 →
↑
214 m
↓
↑
214 m
↓
S 45.523668°
W 11.513672°		 ← 213.94 m →
45 785 m²		 S 45.523668°
W 11.510926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468021392822266 y=0.642337799072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468021392822266 × 217)
    floor (0.468021392822266 × 131072)
    floor (61344.5)     		tx = 61344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642337799072266 × 217)
    floor (0.642337799072266 × 131072)
    floor (84192.5)     		ty = 84192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61344 / 84192 ti = "17/61344/84192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61344/84192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61344 ÷ 217
    61344 ÷ 131072     		x = 0.468017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84192 ÷ 217
    84192 ÷ 131072     		y = 0.642333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.06396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20095148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.28466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.894310799311768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20095148} λ = -0.20095148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.894310799311768))-π/2
    2×atan(0.408889308345159)-π/2
    2×0.388146007280316-π/2
    0.776292014560633-1.57079632675     		φ = -0.79450431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20095148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79450431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.521744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61344 KachelY 84192 -0.20095148 -0.79450431 -11.513672 -45.521744
    Oben rechts KachelX + 1 61345 KachelY 84192 -0.20090355 -0.79450431 -11.510926 -45.521744
    Unten links KachelX 61344 KachelY + 1 84193 -0.20095148 -0.79453790 -11.513672 -45.523668
    Unten rechts KachelX + 1 61345 KachelY + 1 84193 -0.20090355 -0.79453790 -11.510926 -45.523668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79450431--0.79453790) × R
    3.35900000000278e-05 × 6371000     		dl = 214.001890000177m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79450431--0.79453790) × R
    3.35900000000278e-05 × 6371000     		dr = 214.001890000177m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20095148--0.20090355) × cos(-0.79450431) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.700638535043895 × 6371000     		do = 213.948405357237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20095148--0.20090355) × cos(-0.79453790) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.700614567632994 × 6371000     		du = 213.94108661999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79450431)-sin(-0.79453790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700638535043895-0.700614567632994)×R²
    abs(-0.20090355--0.20095148)×2.39674109006049e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.39674109006049e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39674109006049e-05×40589641000000     		ar = 45784.5800013767m²