Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61342 / 57230
↖ ↑ ↗
← N 22.233175°
W 11.519165°		 ← 282.72 m → N 22.233175°
W 11.516418°		 →
↑
282.68 m
↓
↑
282.68 m
↓
N 22.230633°
W 11.519165°		 ← 282.72 m →
79 920 m²		 N 22.230633°
W 11.516418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468006134033203 y=0.436634063720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468006134033203 × 217)
    floor (0.468006134033203 × 131072)
    floor (61342.5)     		tx = 61342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.436634063720703 × 217)
    floor (0.436634063720703 × 131072)
    floor (57230.5)     		ty = 57230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61342 / 57230 ti = "17/61342/57230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61342/57230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61342 ÷ 217
    61342 ÷ 131072     		x = 0.468002319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57230 ÷ 217
    57230 ÷ 131072     		y = 0.436630249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468002319335938 × 2 - 1) × π
    -0.063995361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20104736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.436630249023438 × 2 - 1) × π
    0.126739501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.398163888244186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20104736} λ = -0.20104736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398163888244186))-π/2
    2×atan(1.489088053937)-π/2
    2×0.979419219169303-π/2
    1.95883843833861-1.57079632675     		φ = 0.38804211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20104736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.519165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38804211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.233175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61342 KachelY 57230 -0.20104736 0.38804211 -11.519165 22.233175
    Oben rechts KachelX + 1 61343 KachelY 57230 -0.20099942 0.38804211 -11.516418 22.233175
    Unten links KachelX 61342 KachelY + 1 57231 -0.20104736 0.38799774 -11.519165 22.230633
    Unten rechts KachelX + 1 61343 KachelY + 1 57231 -0.20099942 0.38799774 -11.516418 22.230633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38804211-0.38799774) × R
    4.43700000000158e-05 × 6371000     		dl = 282.681270000101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38804211-0.38799774) × R
    4.43700000000158e-05 × 6371000     		dr = 282.681270000101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20104736--0.20099942) × cos(0.38804211) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.92565165373607 × 6371000     		do = 282.717841324541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20104736--0.20099942) × cos(0.38799774) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.925668441404288 × 6371000     		du = 282.72296871053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38804211)-sin(0.38799774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92565165373607-0.925668441404288)×R²
    abs(-0.20099942--0.20104736)×1.67876682181101e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.67876682181101e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.67876682181101e-05×40589641000000     		ar = 79919.7631584053m²