Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61330 / 40562
↖ ↑ ↗
← N 56.386542°
W 11.552124°		 ← 169.08 m → N 56.386542°
W 11.549377°		 →
↑
169.02 m
↓
↑
169.02 m
↓
N 56.385022°
W 11.552124°		 ← 169.09 m →
28 579 m²		 N 56.385022°
W 11.549377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467914581298828 y=0.309467315673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467914581298828 × 217)
    floor (0.467914581298828 × 131072)
    floor (61330.5)     		tx = 61330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309467315673828 × 217)
    floor (0.309467315673828 × 131072)
    floor (40562.5)     		ty = 40562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61330 / 40562 ti = "17/61330/40562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61330/40562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61330 ÷ 217
    61330 ÷ 131072     		x = 0.467910766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40562 ÷ 217
    40562 ÷ 131072     		y = 0.309463500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467910766601562 × 2 - 1) × π
    -0.064178466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20162260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309463500976562 × 2 - 1) × π
    0.381072998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19717613111128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20162260} λ = -0.20162260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19717613111128))-π/2
    2×atan(3.31075457309693)-π/2
    2×1.27746357537012-π/2
    2.55492715074025-1.57079632675     		φ = 0.98413082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20162260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.552124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98413082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.386542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61330 KachelY 40562 -0.20162260 0.98413082 -11.552124 56.386542
    Oben rechts KachelX + 1 61331 KachelY 40562 -0.20157466 0.98413082 -11.549377 56.386542
    Unten links KachelX 61330 KachelY + 1 40563 -0.20162260 0.98410429 -11.552124 56.385022
    Unten rechts KachelX + 1 61331 KachelY + 1 40563 -0.20157466 0.98410429 -11.549377 56.385022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98413082-0.98410429) × R
    2.65299999999691e-05 × 6371000     		dl = 169.022629999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98413082-0.98410429) × R
    2.65299999999691e-05 × 6371000     		dr = 169.022629999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20162260--0.20157466) × cos(0.98413082) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.553587168955992 × 6371000     		do = 169.079770732974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20162260--0.20157466) × cos(0.98410429) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.55360926271272 × 6371000     		du = 169.086518734972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98413082)-sin(0.98410429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553587168955992-0.55360926271272)×R²
    abs(-0.20157466--0.20162260)×2.20937567273483e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20937567273483e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20937567273483e-05×40589641000000     		ar = 28578.8778133404m²