Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61329 / 14096
↖ ↑ ↗
← N 71.045529°
E156.890259°		 ← 198.39 m → N 71.045529°
E156.895752°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
N 71.043744°
E156.890259°		 ← 198.41 m →
39 374 m²		 N 71.043744°
E156.895752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935813903808594 y=0.215095520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935813903808594 × 216)
    floor (0.935813903808594 × 65536)
    floor (61329.5)     		tx = 61329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215095520019531 × 216)
    floor (0.215095520019531 × 65536)
    floor (14096.5)     		ty = 14096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61329 / 14096 ti = "16/61329/14096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61329/14096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61329 ÷ 216
    61329 ÷ 65536     		x = 0.935806274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14096 ÷ 216
    14096 ÷ 65536     		y = 0.215087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935806274414062 × 2 - 1) × π
    0.871612548828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73825158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215087890625 × 2 - 1) × π
    0.56982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79015557941138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73825158} λ = 2.73825158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79015557941138))-π/2
    2×atan(5.99038437436327)-π/2
    2×1.4053873617481-π/2
    2.81077472349621-1.57079632675     		φ = 1.23997840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73825158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.890259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23997840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.045529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61329 KachelY 14096 2.73825158 1.23997840 156.890259 71.045529
    Oben rechts KachelX + 1 61330 KachelY 14096 2.73834745 1.23997840 156.895752 71.045529
    Unten links KachelX 61329 KachelY + 1 14097 2.73825158 1.23994725 156.890259 71.043744
    Unten rechts KachelX + 1 61330 KachelY + 1 14097 2.73834745 1.23994725 156.895752 71.043744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23997840-1.23994725) × R
    3.11500000000908e-05 × 6371000     		dl = 198.456650000579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23997840-1.23994725) × R
    3.11500000000908e-05 × 6371000     		dr = 198.456650000579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73825158-2.73834745) × cos(1.23997840) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324816713297394 × 6371000     		do = 198.39407597364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73825158-2.73834745) × cos(1.23994725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324846174092841 × 6371000     		du = 198.412070267194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23997840)-sin(1.23994725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324816713297394-0.324846174092841)×R²
    abs(2.73834745-2.73825158)×2.94607954468562e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94607954468562e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94607954468562e-05×40589641000000     		ar = 39374.4092445462m²