Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61327 / 40977
↖ ↑ ↗
← N 55.750304°
W 11.560364°		 ← 171.89 m → N 55.750304°
W 11.557617°		 →
↑
171.89 m
↓
↑
171.89 m
↓
N 55.748758°
W 11.560364°		 ← 171.90 m →
29 547 m²		 N 55.748758°
W 11.557617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467891693115234 y=0.312633514404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467891693115234 × 217)
    floor (0.467891693115234 × 131072)
    floor (61327.5)     		tx = 61327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312633514404297 × 217)
    floor (0.312633514404297 × 131072)
    floor (40977.5)     		ty = 40977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61327 / 40977 ti = "17/61327/40977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61327/40977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61327 ÷ 217
    61327 ÷ 131072     		x = 0.467887878417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40977 ÷ 217
    40977 ÷ 131072     		y = 0.312629699707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467887878417969 × 2 - 1) × π
    -0.0642242431640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20176641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312629699707031 × 2 - 1) × π
    0.374740600585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.17728231776896
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20176641} λ = -0.20176641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17728231776896))-π/2
    2×atan(3.24554185513875)-π/2
    2×1.27191134217946-π/2
    2.54382268435891-1.57079632675     		φ = 0.97302636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20176641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.560364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97302636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.750304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61327 KachelY 40977 -0.20176641 0.97302636 -11.560364 55.750304
    Oben rechts KachelX + 1 61328 KachelY 40977 -0.20171847 0.97302636 -11.557617 55.750304
    Unten links KachelX 61327 KachelY + 1 40978 -0.20176641 0.97299938 -11.560364 55.748758
    Unten rechts KachelX + 1 61328 KachelY + 1 40978 -0.20171847 0.97299938 -11.557617 55.748758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97302636-0.97299938) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dl = 171.889580000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97302636-0.97299938) × R
    2.69800000000098e-05 × 6371000     		dr = 171.889580000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20176641--0.20171847) × cos(0.97302636) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562800545097429 × 6371000     		do = 171.893772958772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20176641--0.20171847) × cos(0.97299938) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.562822846364529 × 6371000     		du = 171.900584339779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97302636)-sin(0.97299938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562800545097429-0.562822846364529)×R²
    abs(-0.20171847--0.20176641)×2.23012670997891e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.23012670997891e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.23012670997891e-05×40589641000000     		ar = 29547.3338430112m²