Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61325 / 40561
↖ ↑ ↗
← N 56.388063°
W 11.565857°		 ← 169.04 m → N 56.388063°
W 11.563111°		 →
↑
169.09 m
↓
↑
169.09 m
↓
N 56.386542°
W 11.565857°		 ← 169.04 m →
28 583 m²		 N 56.386542°
W 11.563111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467876434326172 y=0.309459686279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467876434326172 × 217)
    floor (0.467876434326172 × 131072)
    floor (61325.5)     		tx = 61325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309459686279297 × 217)
    floor (0.309459686279297 × 131072)
    floor (40561.5)     		ty = 40561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61325 / 40561 ti = "17/61325/40561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61325/40561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61325 ÷ 217
    61325 ÷ 131072     		x = 0.467872619628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40561 ÷ 217
    40561 ÷ 131072     		y = 0.309455871582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467872619628906 × 2 - 1) × π
    -0.0642547607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20186228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309455871582031 × 2 - 1) × π
    0.381088256835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.1972240680109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20186228} λ = -0.20186228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1972240680109))-π/2
    2×atan(3.31091328421059)-π/2
    2×1.27747684373147-π/2
    2.55495368746294-1.57079632675     		φ = 0.98415736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20186228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.565857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98415736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.388063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61325 KachelY 40561 -0.20186228 0.98415736 -11.565857 56.388063
    Oben rechts KachelX + 1 61326 KachelY 40561 -0.20181435 0.98415736 -11.563111 56.388063
    Unten links KachelX 61325 KachelY + 1 40562 -0.20186228 0.98413082 -11.565857 56.386542
    Unten rechts KachelX + 1 61326 KachelY + 1 40562 -0.20181435 0.98413082 -11.563111 56.386542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98415736-0.98413082) × R
    2.65400000000193e-05 × 6371000     		dl = 169.086340000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98415736-0.98413082) × R
    2.65400000000193e-05 × 6371000     		dr = 169.086340000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20186228--0.20181435) × cos(0.98415736) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553565066481568 × 6371000     		do = 169.037752437902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20186228--0.20181435) × cos(0.98413082) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.553587168955992 × 6371000     		du = 169.04450169436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98415736)-sin(0.98413082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553565066481568-0.553587168955992)×R²
    abs(-0.20181435--0.20186228)×2.21024744239129e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21024744239129e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21024744239129e-05×40589641000000     		ar = 28582.5454867692m²