Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61324 / 34412
↖ ↑ ↗
← N 64.647408°
W 11.568603°		 ← 130.78 m → N 64.647408°
W 11.565857°		 →
↑
130.80 m
↓
↑
130.80 m
↓
N 64.646232°
W 11.568603°		 ← 130.79 m →
17 106 m²		 N 64.646232°
W 11.565857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467868804931641 y=0.262546539306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467868804931641 × 217)
    floor (0.467868804931641 × 131072)
    floor (61324.5)     		tx = 61324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262546539306641 × 217)
    floor (0.262546539306641 × 131072)
    floor (34412.5)     		ty = 34412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61324 / 34412 ti = "17/61324/34412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61324/34412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61324 ÷ 217
    61324 ÷ 131072     		x = 0.467864990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34412 ÷ 217
    34412 ÷ 131072     		y = 0.262542724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467864990234375 × 2 - 1) × π
    -0.06427001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20191022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262542724609375 × 2 - 1) × π
    0.47491455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49198806377463
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20191022} λ = -0.20191022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49198806377463))-π/2
    2×atan(4.44592552226606)-π/2
    2×1.34955322844686-π/2
    2.69910645689371-1.57079632675     		φ = 1.12831013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20191022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.568603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12831013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.647408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61324 KachelY 34412 -0.20191022 1.12831013 -11.568603 64.647408
    Oben rechts KachelX + 1 61325 KachelY 34412 -0.20186228 1.12831013 -11.565857 64.647408
    Unten links KachelX 61324 KachelY + 1 34413 -0.20191022 1.12828960 -11.568603 64.646232
    Unten rechts KachelX + 1 61325 KachelY + 1 34413 -0.20186228 1.12828960 -11.565857 64.646232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12831013-1.12828960) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dl = 130.796630000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12831013-1.12828960) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dr = 130.796630000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20191022--0.20186228) × cos(1.12831013) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42818753703156 × 6371000     		do = 130.779495356632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20191022--0.20186228) × cos(1.12828960) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428206089694944 × 6371000     		du = 130.785161817575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12831013)-sin(1.12828960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42818753703156-0.428206089694944)×R²
    abs(-0.20186228--0.20191022)×1.85526633839639e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85526633839639e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85526633839639e-05×40589641000000     		ar = 17105.8878434351m²