Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61323 / 34411
↖ ↑ ↗
← N 64.648585°
W 11.571350°		 ← 130.77 m → N 64.648585°
W 11.568603°		 →
↑
130.80 m
↓
↑
130.80 m
↓
N 64.647408°
W 11.571350°		 ← 130.78 m →
17 105 m²		 N 64.647408°
W 11.568603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467861175537109 y=0.262538909912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467861175537109 × 217)
    floor (0.467861175537109 × 131072)
    floor (61323.5)     		tx = 61323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262538909912109 × 217)
    floor (0.262538909912109 × 131072)
    floor (34411.5)     		ty = 34411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61323 / 34411 ti = "17/61323/34411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61323/34411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61323 ÷ 217
    61323 ÷ 131072     		x = 0.467857360839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34411 ÷ 217
    34411 ÷ 131072     		y = 0.262535095214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467857360839844 × 2 - 1) × π
    -0.0642852783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20195816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262535095214844 × 2 - 1) × π
    0.474929809570312 × 3.1415926535     		Φ = 1.49203600067425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20195816} λ = -0.20195816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49203600067425))-π/2
    2×atan(4.44613865125987)-π/2
    2×1.34956349121605-π/2
    2.6991269824321-1.57079632675     		φ = 1.12833066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20195816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.571350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12833066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.648585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61323 KachelY 34411 -0.20195816 1.12833066 -11.571350 64.648585
    Oben rechts KachelX + 1 61324 KachelY 34411 -0.20191022 1.12833066 -11.568603 64.648585
    Unten links KachelX 61323 KachelY + 1 34412 -0.20195816 1.12831013 -11.571350 64.647408
    Unten rechts KachelX + 1 61324 KachelY + 1 34412 -0.20191022 1.12831013 -11.568603 64.647408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12833066-1.12831013) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dl = 130.796630000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12833066-1.12831013) × R
    2.05300000000186e-05 × 6371000     		dr = 130.796630000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20195816--0.20191022) × cos(1.12833066) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428168984187703 × 6371000     		do = 130.773828840567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20195816--0.20191022) × cos(1.12831013) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42818753703156 × 6371000     		du = 130.779495356632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12833066)-sin(1.12831013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428168984187703-0.42818753703156)×R²
    abs(-0.20191022--0.20195816)×1.85528438568228e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85528438568228e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85528438568228e-05×40589641000000     		ar = 17105.1466857045m²