Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61321 / 13403
↖ ↑ ↗
← N 72.243892°
E156.846313°		 ← 186.27 m → N 72.243892°
E156.851806°		 →
↑
186.29 m
↓
↑
186.29 m
↓
N 72.242217°
E156.846313°		 ← 186.29 m →
34 701 m²		 N 72.242217°
E156.851806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935691833496094 y=0.204521179199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935691833496094 × 216)
    floor (0.935691833496094 × 65536)
    floor (61321.5)     		tx = 61321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204521179199219 × 216)
    floor (0.204521179199219 × 65536)
    floor (13403.5)     		ty = 13403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61321 / 13403 ti = "16/61321/13403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61321/13403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61321 ÷ 216
    61321 ÷ 65536     		x = 0.935684204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13403 ÷ 216
    13403 ÷ 65536     		y = 0.204513549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.935684204101562 × 2 - 1) × π
    0.871368408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.73748459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.204513549804688 × 2 - 1) × π
    0.590972900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.85659612228477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73748459} λ = 2.73748459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85659612228477))-π/2
    2×atan(6.40190832873527)-π/2
    2×1.41584505134946-π/2
    2.83169010269892-1.57079632675     		φ = 1.26089378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73748459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.846313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26089378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.243892°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61321 KachelY 13403 2.73748459 1.26089378 156.846313 72.243892
    Oben rechts KachelX + 1 61322 KachelY 13403 2.73758046 1.26089378 156.851806 72.243892
    Unten links KachelX 61321 KachelY + 1 13404 2.73748459 1.26086454 156.846313 72.242217
    Unten rechts KachelX + 1 61322 KachelY + 1 13404 2.73758046 1.26086454 156.851806 72.242217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26089378-1.26086454) × R
    2.92399999999304e-05 × 6371000     		dl = 186.288039999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26089378-1.26086454) × R
    2.92399999999304e-05 × 6371000     		dr = 186.288039999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73748459-2.73758046) × cos(1.26089378) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.304965827036287 × 6371000     		do = 186.269397421695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73748459-2.73758046) × cos(1.26086454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.304993674008639 × 6371000     		du = 186.28640601184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26089378)-sin(1.26086454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304965827036287-0.304993674008639)×R²
    abs(2.73758046-2.73748459)×2.78469723519748e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.78469723519748e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.78469723519748e-05×40589641000000     		ar = 34701.3452085133m²