Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61320 / 13404
↖ ↑ ↗
← N 72.242217°
E156.840821°		 ← 186.29 m → N 72.242217°
E156.846313°		 →
↑
186.35 m
↓
↑
186.35 m
↓
N 72.240541°
E156.840821°		 ← 186.30 m →
34 716 m²		 N 72.240541°
E156.846313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.935676574707031 y=0.204536437988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.935676574707031 × 216)
    floor (0.935676574707031 × 65536)
    floor (61320.5)     		tx = 61320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.204536437988281 × 216)
    floor (0.204536437988281 × 65536)
    floor (13404.5)     		ty = 13404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61320 / 13404 ti = "16/61320/13404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61320/13404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61320 ÷ 216
    61320 ÷ 65536     		x = 0.9356689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13404 ÷ 216
    13404 ÷ 65536     		y = 0.20452880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9356689453125 × 2 - 1) × π
    0.871337890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.73738872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.20452880859375 × 2 - 1) × π
    0.5909423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.85650024848553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.73738872} λ = 2.73738872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.85650024848553))-π/2
    2×atan(6.40129458288295)-π/2
    2×1.4158304315656-π/2
    2.83166086313121-1.57079632675     		φ = 1.26086454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.73738872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 156.840821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26086454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.242217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61320 KachelY 13404 2.73738872 1.26086454 156.840821 72.242217
    Oben rechts KachelX + 1 61321 KachelY 13404 2.73748459 1.26086454 156.846313 72.242217
    Unten links KachelX 61320 KachelY + 1 13405 2.73738872 1.26083529 156.840821 72.240541
    Unten rechts KachelX + 1 61321 KachelY + 1 13405 2.73748459 1.26083529 156.846313 72.240541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26086454-1.26083529) × R
    2.92500000000917e-05 × 6371000     		dl = 186.351750000584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26086454-1.26083529) × R
    2.92500000000917e-05 × 6371000     		dr = 186.351750000584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.73738872-2.73748459) × cos(1.26086454) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.304993674008639 × 6371000     		do = 186.28640601184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.73738872-2.73748459) × cos(1.26083529) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.305021530243683 × 6371000     		du = 186.303420259523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26086454)-sin(1.26083529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.304993674008639-0.305021530243683)×R²
    abs(2.73748459-2.73738872)×2.78562350439215e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.78562350439215e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.78562350439215e-05×40589641000000     		ar = 34716.3830815623m²