Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61317 / 40529
↖ ↑ ↗
← N 56.436685°
W 11.587830°		 ← 168.86 m → N 56.436685°
W 11.585083°		 →
↑
168.90 m
↓
↑
168.90 m
↓
N 56.435167°
W 11.587830°		 ← 168.86 m →
28 520 m²		 N 56.435167°
W 11.585083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467815399169922 y=0.309215545654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467815399169922 × 217)
    floor (0.467815399169922 × 131072)
    floor (61317.5)     		tx = 61317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309215545654297 × 217)
    floor (0.309215545654297 × 131072)
    floor (40529.5)     		ty = 40529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61317 / 40529 ti = "17/61317/40529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61317/40529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61317 ÷ 217
    61317 ÷ 131072     		x = 0.467811584472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40529 ÷ 217
    40529 ÷ 131072     		y = 0.309211730957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467811584472656 × 2 - 1) × π
    -0.0643768310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20224578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309211730957031 × 2 - 1) × π
    0.381576538085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.19875804879874
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20224578} λ = -0.20224578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19875804879874))-π/2
    2×atan(3.31599605902155)-π/2
    2×1.2779011516823-π/2
    2.5558023033646-1.57079632675     		φ = 0.98500598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20224578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.587830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98500598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.436685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61317 KachelY 40529 -0.20224578 0.98500598 -11.587830 56.436685
    Oben rechts KachelX + 1 61318 KachelY 40529 -0.20219784 0.98500598 -11.585083 56.436685
    Unten links KachelX 61317 KachelY + 1 40530 -0.20224578 0.98497947 -11.587830 56.435167
    Unten rechts KachelX + 1 61318 KachelY + 1 40530 -0.20219784 0.98497947 -11.585083 56.435167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98500598-0.98497947) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dl = 168.89520999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98500598-0.98497947) × R
    2.65099999999796e-05 × 6371000     		dr = 168.89520999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20224578--0.20219784) × cos(0.98500598) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.55285813147145 × 6371000     		do = 168.85710391977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20224578--0.20219784) × cos(0.98497947) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.55288022140794 × 6371000     		du = 168.863850754969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98500598)-sin(0.98497947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55285813147145-0.55288022140794)×R²
    abs(-0.20219784--0.20224578)×2.20899364906657e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20899364906657e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20899364906657e-05×40589641000000     		ar = 28519.7257822679m²