Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61316 / 40838
↖ ↑ ↗
← N 55.964576°
W 11.590576°		 ← 170.95 m → N 55.964576°
W 11.587830°		 →
↑
170.93 m
↓
↑
170.93 m
↓
N 55.963038°
W 11.590576°		 ← 170.96 m →
29 221 m²		 N 55.963038°
W 11.587830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467807769775391 y=0.311573028564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467807769775391 × 217)
    floor (0.467807769775391 × 131072)
    floor (61316.5)     		tx = 61316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311573028564453 × 217)
    floor (0.311573028564453 × 131072)
    floor (40838.5)     		ty = 40838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61316 / 40838 ti = "17/61316/40838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61316/40838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61316 ÷ 217
    61316 ÷ 131072     		x = 0.467803955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40838 ÷ 217
    40838 ÷ 131072     		y = 0.311569213867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467803955078125 × 2 - 1) × π
    -0.06439208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20229372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311569213867188 × 2 - 1) × π
    0.376861572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18394554681615
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20229372} λ = -0.20229372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18394554681615))-π/2
    2×atan(3.2672398529865)-π/2
    2×1.27378121812289-π/2
    2.54756243624577-1.57079632675     		φ = 0.97676611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20229372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.590576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97676611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.964576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61316 KachelY 40838 -0.20229372 0.97676611 -11.590576 55.964576
    Oben rechts KachelX + 1 61317 KachelY 40838 -0.20224578 0.97676611 -11.587830 55.964576
    Unten links KachelX 61316 KachelY + 1 40839 -0.20229372 0.97673928 -11.590576 55.963038
    Unten rechts KachelX + 1 61317 KachelY + 1 40839 -0.20224578 0.97673928 -11.587830 55.963038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97676611-0.97673928) × R
    2.68300000000332e-05 × 6371000     		dl = 170.933930000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97676611-0.97673928) × R
    2.68300000000332e-05 × 6371000     		dr = 170.933930000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20229372--0.20224578) × cos(0.97676611) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559705366545659 × 6371000     		do = 170.948425759166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20229372--0.20224578) × cos(0.97673928) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559727600142014 × 6371000     		du = 170.955216471786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97676611)-sin(0.97673928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559705366545659-0.559727600142014)×R²
    abs(-0.20224578--0.20229372)×2.22335963550035e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22335963550035e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22335963550035e-05×40589641000000     		ar = 29221.4666259292m²