Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61316 / 40835
↖ ↑ ↗
← N 55.969187°
W 11.590576°		 ← 170.93 m → N 55.969187°
W 11.587830°		 →
↑
170.93 m
↓
↑
170.93 m
↓
N 55.967650°
W 11.590576°		 ← 170.93 m →
29 218 m²		 N 55.967650°
W 11.587830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467807769775391 y=0.311550140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467807769775391 × 217)
    floor (0.467807769775391 × 131072)
    floor (61316.5)     		tx = 61316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311550140380859 × 217)
    floor (0.311550140380859 × 131072)
    floor (40835.5)     		ty = 40835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61316 / 40835 ti = "17/61316/40835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61316/40835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61316 ÷ 217
    61316 ÷ 131072     		x = 0.467803955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40835 ÷ 217
    40835 ÷ 131072     		y = 0.311546325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467803955078125 × 2 - 1) × π
    -0.06439208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20229372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311546325683594 × 2 - 1) × π
    0.376907348632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.18408935751501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20229372} λ = -0.20229372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18408935751501))-π/2
    2×atan(3.26770975082046)-π/2
    2×1.27382146153479-π/2
    2.54764292306958-1.57079632675     		φ = 0.97684660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20229372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.590576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97684660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.969187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61316 KachelY 40835 -0.20229372 0.97684660 -11.590576 55.969187
    Oben rechts KachelX + 1 61317 KachelY 40835 -0.20224578 0.97684660 -11.587830 55.969187
    Unten links KachelX 61316 KachelY + 1 40836 -0.20229372 0.97681977 -11.590576 55.967650
    Unten rechts KachelX + 1 61317 KachelY + 1 40836 -0.20224578 0.97681977 -11.587830 55.967650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97684660-0.97681977) × R
    2.68300000000332e-05 × 6371000     		dl = 170.933930000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97684660-0.97681977) × R
    2.68300000000332e-05 × 6371000     		dr = 170.933930000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20229372--0.20224578) × cos(0.97684660) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559638663339238 × 6371000     		do = 170.928052882985m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20229372--0.20224578) × cos(0.97681977) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559660898144255 × 6371000     		du = 170.934843964761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97684660)-sin(0.97681977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559638663339238-0.559660898144255)×R²
    abs(-0.20224578--0.20229372)×2.22348050169519e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22348050169519e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22348050169519e-05×40589641000000     		ar = 29217.9842415451m²