Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61314 / 40833
↖ ↑ ↗
← N 55.972261°
W 11.596069°		 ← 170.91 m → N 55.972261°
W 11.593323°		 →
↑
170.93 m
↓
↑
170.93 m
↓
N 55.970724°
W 11.596069°		 ← 170.92 m →
29 216 m²		 N 55.970724°
W 11.593323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467792510986328 y=0.311534881591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467792510986328 × 217)
    floor (0.467792510986328 × 131072)
    floor (61314.5)     		tx = 61314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311534881591797 × 217)
    floor (0.311534881591797 × 131072)
    floor (40833.5)     		ty = 40833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61314 / 40833 ti = "17/61314/40833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61314/40833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61314 ÷ 217
    61314 ÷ 131072     		x = 0.467788696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40833 ÷ 217
    40833 ÷ 131072     		y = 0.311531066894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467788696289062 × 2 - 1) × π
    -0.064422607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20238959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311531066894531 × 2 - 1) × π
    0.376937866210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.18418523131425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20238959} λ = -0.20238959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18418523131425))-π/2
    2×atan(3.2680230535876)-π/2
    2×1.27384828781161-π/2
    2.54769657562322-1.57079632675     		φ = 0.97690025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20238959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.596069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97690025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.972261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61314 KachelY 40833 -0.20238959 0.97690025 -11.596069 55.972261
    Oben rechts KachelX + 1 61315 KachelY 40833 -0.20234165 0.97690025 -11.593323 55.972261
    Unten links KachelX 61314 KachelY + 1 40834 -0.20238959 0.97687342 -11.596069 55.970724
    Unten rechts KachelX + 1 61315 KachelY + 1 40834 -0.20234165 0.97687342 -11.593323 55.970724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97690025-0.97687342) × R
    2.68300000000332e-05 × 6371000     		dl = 170.933930000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97690025-0.97687342) × R
    2.68300000000332e-05 × 6371000     		dr = 170.933930000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20238959--0.20234165) × cos(0.97690025) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559594200808322 × 6371000     		do = 170.914472881577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20238959--0.20234165) × cos(0.97687342) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.559616436418883 × 6371000     		du = 170.921264209387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97690025)-sin(0.97687342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559594200808322-0.559616436418883)×R²
    abs(-0.20234165--0.20238959)×2.22356105613608e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22356105613608e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22356105613608e-05×40589641000000     		ar = 29215.6629796082m²